Questão 4: (2.5 pontos)
Usando o método de separação de variáveis, resolva a seguinte EDP:
\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial u}{\partial t} \\\ u(0, t)=u(2, t)=0, \quad t>0 \\\ u(x, 0)=x, \quad 0<x<2 \end{array}\right.
Fórmulas úteis no verso!

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação do calor
\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
em 0<x<2,\;t>0, com condições de contorno u(0,t)=u(2,t)=0 e condição inicial u(x,0)=x.
O método de separação de variáveis nos ensina a buscar soluções da forma u(x,t)=X(x)\,T(t), levando a duas EDO’s acopladas por um parâmetro separação \lambda.

Passo 2

Assumindo u(x,t)=X(x)\,T(t)\), substituímos na PDE e separamos variáveis: \[X(x)\,T'(t) = X''(x)\,T(t) \quad\Longrightarrow\quad \frac{T'(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda.
Isso gera duas equações:
\begin{cases} X'' + \lambda X = 0,\\\ T' + \lambda T = 0. \end{cases}
As condições u(0,t)=0\] e \(u(2,t)=0 viram
X(0)=0, \quad X(2)=0,
levando aos autovalores e autovetores do problema de Sturm–Liouville:
\lambda_n = \biggl(\frac{n\pi}{2}\biggr)^{2}, \quad X_n(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr), \quad n=1,2,3,\dots

Passo 3

Para cada \lambda_n, a parte temporal é
T_n(t) = e^{-\lambda_n\,t} = \exp\Bigl(-\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)^2 t\Bigr).
Assim, cada modo separado vale
u_n(x,t) = X_n(x)\,T_n(t) = \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr)\, \exp\Bigl(-\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)^2 t\Bigr).

Passo 4

A solução geral é a soma infinita dos modos:
u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr)\, \exp\Bigl(-\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)^2 t\Bigr).
Para ajustar a condição inicial u(x,0)=x, precisamos da série de Fourier seno em [0,2]:
x = \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr).
Pela ortogonalidade,
B_n = \frac{2}{2} \int_{0}^{2} x\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr)\,dx = \int_{0}^{2} x\,\sin\!\bigl(a x\bigr)\,dx,
onde a = \tfrac{n\pi}{2}. Calculando
\int x\sin(ax)\,dx = -\frac{x\cos(ax)}{a} + \frac{\sin(ax)}{a^2},
temos
\int_{0}^{2} x\sin(ax)\,dx = \Bigl[-\tfrac{x\cos(ax)}{a}+\tfrac{\sin(ax)}{a^2}\Bigr]_{0}^{2} = -\frac{2\cos(2a)}{a} = -\frac{2(-1)^n}{a}.
Logo,
B_n = -\frac{2(-1)^n}{a} = -\frac{2(-1)^n}{\tfrac{n\pi}{2}} = -\frac{4(-1)^n}{n\pi} = \frac{4(-1)^{n+1}}{n\pi}.

Passo 5

Substituindo B_n em u(x,t), obtemos a solução final:
u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^{n+1}}{n\pi} \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr) \exp\Bigl(-\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)^2 t\Bigr).

Resposta

\boxed{ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^{n+1}}{n\pi} \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr)\, \exp\Bigl(-\tfrac{n^2\pi^2}{4}\,t\Bigr) }.

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