em 0<x<2,\;t>0, com condições de contorno u(0,t)=u(2,t)=0 e condição inicial u(x,0)=x.
O método de separação de variáveis nos ensina a buscar soluções da forma u(x,t)=X(x)\,T(t), levando a duas EDO’s acopladas por um parâmetro separação \lambda.
Passo 2
Assumindo u(x,t)=X(x)\,T(t)\), substituímos na PDE e separamos variáveis:
\[X(x)\,T'(t) = X''(x)\,T(t) \quad\Longrightarrow\quad \frac{T'(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda.
Isso gera duas equações:
\begin{cases} X'' + \lambda X = 0,\\\ T' + \lambda T = 0. \end{cases}
As condições u(0,t)=0\] e \(u(2,t)=0 viram
X(0)=0, \quad X(2)=0,
levando aos autovalores e autovetores do problema de Sturm–Liouville: