Exercício 4. Calcule o fluxo dos campos vetorias abaixo:
é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenadas a pelos planos
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície fechada
da caixa limitada por
,
;
,
;
,
. Como
é uma superfície fechada de um volume
, vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss), que diz que
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Derivando cada termo, obtemos
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é
Passo 4
Integramos o termo
, que não depende de
:
Passo 5
Agora o termo
:
Cada integral é
,
,
, logo o resultado é
Passo 6
Finalmente o termo
:
Calculando,
,
,
. Então
Passo 7
Somando as três contribuições:
Como
, fica