Exercício 4. Calcule o fluxo dos campos vetorias abaixo:
\vec{F}(x, y, z)=\left(x y e^{2}, x y^{2} z^{3},-y e^{z}\right), S é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenadas a pelos planos x=3, y=1, z=1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=(x\,y\,e^2,\;x\,y^2\,z^3,\;-y\,e^z) através da superfície fechada S da caixa limitada por x=0, x=3; y=0, y=1; z=0, z=1. Como S é uma superfície fechada de um volume V, vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss), que diz que
\iint_{S}\vec{F}\cdot \mathbf{n}\,dS =\iiint_{V}\bigl(\nabla\cdot \vec{F}\bigr)\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec{F}:
\nabla\cdot \vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x\,y\,e^2) +\frac{\partial}{\partial y}(x\,y^2\,z^3) +\frac{\partial}{\partial z}(-y\,e^z).
Derivando cada termo, obtemos
\nabla\cdot \vec{F} =y\,e^2 +2\,x\,y\,z^3 -y\,e^z.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é
\Phi =\iiint_{V}\bigl(y\,e^2+2\,x\,y\,z^3 - y\,e^z\bigr)\,dV =\int_{x=0}^{3}\!\int_{y=0}^{1}\!\int_{z=0}^{1}\bigl(y\,e^2+2\,x\,y\,z^3 - y\,e^z\bigr)\,dz\,dy\,dx.

Passo 4

Integramos o termo y\,e^2, que não depende de z:
\int_{0}^{3}\!\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}y\,e^2\,dz\,dy\,dx =e^2\Bigl(\int_{0}^{3}dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1}y\,dy\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1}dz\Bigr) =e^2\cdot3\cdot\frac{1}{2}\cdot1 =\frac{3}{2}e^2.

Passo 5

Agora o termo 2\,x\,y\,z^3:
\int_{0}^{3}\!\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}2\,x\,y\,z^3\,dz\,dy\,dx =\Bigl(\int_{0}^{3}2x\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1}y\,dy\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1}z^3\,dz\Bigr).
Cada integral é \int_{0}^{3}2x\,dx=9, \int_{0}^{1}y\,dy=\tfrac12, \int_{0}^{1}z^3\,dz=\tfrac14, logo o resultado é
9\cdot\frac12\cdot\frac14=\frac{9}{8}.

Passo 6

Finalmente o termo -y\,e^z:
\int_{0}^{3}\!\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}(-y\,e^z)\,dz\,dy\,dx =\Bigl(\int_{0}^{3}dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1}y\,dy\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1}-e^z\,dz\Bigr).
Calculando, \int_{0}^{3}dx=3, \int_{0}^{1}y\,dy=\tfrac12, \int_{0}^{1}-e^z\,dz=-(e-1). Então
3\cdot\frac12\cdot\bigl(-(e-1)\bigr) =-\frac{3}{2}(e-1) =-\frac{3}{2}e+\frac{3}{2}.

Passo 7

Somando as três contribuições:
\Phi =\frac{3}{2}e^2 +\frac{9}{8} \;+\Bigl(-\frac{3}{2}e+\frac{3}{2}\Bigr) =\frac{3}{2}e^2-\frac{3}{2}e+\Bigl(\frac{9}{8}+\frac{3}{2}\Bigr).
Como \tfrac{9}{8}+\tfrac{3}{2}=\tfrac{9}{8}+\tfrac{12}{8}=\tfrac{21}{8}, fica
\Phi =\frac{3}{2}e^2-\frac{3}{2}e+\frac{21}{8} =\frac{12e^2-12e+21}{8}.

Resposta

\Phi =\frac{12\,e^2-12\,e+21}{8}.

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