Considere as funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=(3+\cos x)^{2} e g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=4-2(\operatorname{sen} x)^{2024}. Determine todos os valores reais de x tais que f(x)=g(x).

Passo 1

O enunciado pede os valores reais de x tais que
(3+\cos x)^{2} \;=\; 4 \;-\; 2\,(\sin x)^{2024}.
O conteúdo envolve identidades trigonométricas e a substituição t=\cos x.

Passo 2

Começamos igualando as duas expressões e usando \sin^{2}x=1-\cos^{2}x:
(3+\cos x)^{2} \;=\; 4 \;-\; 2\,\bigl(\sin^{2}x\bigr)^{1012} \;=\;4 \;-\; 2\,(1-\cos^{2}x)^{1012}.

Passo 3

Definindo t=\cos x, com t\in[-1,1], a equação vira
(3+t)^{2} \;=\;4 \;-\;2\,(1-t^{2})^{1012}.
Passando tudo para um lado,
(3+t)^{2}-4 \;+\;2\,(1-t^{2})^{1012}=0.

Passo 4

Observamos que
(3+t)^{2}-4 =9+6t+t^{2}-4 =t^{2}+6t+5 =(t+1)(t+5).
Logo a equação é
(t+1)(t+5)+2\,(1-t^{2})^{1012}=0.
Como (1-t^{2})^{1012}\ge0, o segundo termo é não-negativo. Para a soma ser zero, deve ocorrer (t+1)(t+5)\le0 e ainda anular exatamente o segundo termo. No intervalo t\in[-1,1], só t=-1 satisfaz (t+1)(t+5)=0 e faz (1-(-1)^{2})^{1012}=0.

Passo 5

Concluímos que \cos x=t=-1. Os x que satisfazem isso são
x = \pi + 2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.

Resposta

x = (2n+1)\,\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.

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