Questão 2: ( 2.5 pontos)
Determine todos os autovalores \lambda \in \mathbb{R}, e todas as autofunçöes correspondentes, para quais existem soluções não-nulas do problema de valores de contorno da derivada
y^{\prime \prime}+\lambda y=0, \quad \text { com } \quad y^{\prime}(0)=0, y^{\prime}(3 \pi)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valores de contorno
y'' + \lambda y = 0,\quad y'(0)=0,\;y'(3\pi)=0
em que queremos achar todos os valores de \lambda\in\mathbb{R} para os quais existe solução não-trivial. Isso é um problema de autovalores (Sturm–Liouville) com condições de Neumann. Para resolver, vamos analisar separadamente os casos \lambda<0, \lambda=0 e \lambda>0.

Passo 2

Suponha \lambda<0 e escreva \lambda=-\mu^2 com \mu>0. A solução geral de
y'' - \mu^2 y = 0
é
y(x) = A e^{\mu x} + B e^{-\mu x}.
Então
y'(x) = A\mu e^{\mu x} - B\mu e^{-\mu x}.
A condição y'(0)=0
\mu(A - B)=0\\ \Longrightarrow\\ A=B,
de modo que
y(x)=2A\operatorname{cosh}(\mu x),\quad y'(x)=2A\mu\operatorname{sinh}(\mu x).
Para y'(3\pi)=0 teríamos \operatorname{sinh}(3\pi\mu)=0, o que só ocorre se A=0. Assim, não há solução não-trivial para \lambda<0.

Passo 3

Para \lambda=0 a equação é
y''=0,
cuja solução geral é
y(x)=Ax+B,\quad y'(x)=A.
A condição y'(0)=0 implica A=0, restando y(x)=B, que satisfaz também y'(3\pi)=0. Como B pode ser não-zero, concluímos que \lambda=0 é autovalor com autofunção constante y(x)=1 (até constante multiplicativa).

Passo 4

Para \lambda>0 escreva \lambda=k^2 com k>0. A solução geral de
y'' + k^2 y = 0
é
y(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx),
e
y'(x)=-A\,k\sin(kx)+B\,k\cos(kx).
A condição y'(0)=0
kB=0\\ \Longrightarrow\\ B=0,
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y(x)=A\cos(kx),\quad y'(x)=-A\,k\sin(kx).
Impor y'(3\pi)=0 exige
\sin(3\pi k)=0\quad\Longrightarrow\quad 3\pi k = m\pi,\;m\in\mathbb{Z}.
Como k>0, tomamos m=1,2,3,\dots, obtendo
k_m = \frac{m}{3},\quad \lambda_m = k_m^2 = \Bigl(\frac{m}{3}\Bigr)^2.

Passo 5

Em resumo, os autovalores e autofunções não-triviais são
\begin{cases} \lambda_0 = 0,\quad y_0(x)=1,\\[6pt] \lambda_m = \bigl(\tfrac{m}{3}\bigr)^2,\quad y_m(x)=\cos\bigl(\tfrac{m}{3}\,x\bigr), \quad m=1,2,3,\dots \end{cases}]

Resposta

\displaystyle \lambda_0 = 0 com y_0(x)=1, e para cada m=1,2,\dots
\lambda_m = \Bigl(\tfrac{m}{3}\Bigr)^2,\quad y_m(x)=\cos\!\Bigl(\tfrac{m}{3}\,x\Bigr).

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