Questão 2: ( 2.5 pontos)
Determine todos os autovalores
, e todas as autofunçöes correspondentes, para quais existem soluções não-nulas do problema de valores de contorno da derivada
Determine todos os autovalores
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valores de contorno
em que queremos achar todos os valores de
para os quais existe solução não-trivial. Isso é um problema de autovalores (Sturm–Liouville) com condições de Neumann. Para resolver, vamos analisar separadamente os casos
,
e
.
Passo 2
Suponha
e escreva
com
. A solução geral de
é
Então
A condição
dá
de modo que
Para
teríamos
, o que só ocorre se
. Assim, não há solução não-trivial para
.
Passo 3
Para
a equação é
cuja solução geral é
A condição
implica
, restando
, que satisfaz também
. Como
pode ser não-zero, concluímos que
é autovalor com autofunção constante
(até constante multiplicativa).
Passo 4
Para
escreva
com
. A solução geral de
é
e
A condição
dá
logo
Impor
exige
Como
, tomamos
, obtendo
Passo 5
Em resumo, os autovalores e autofunções não-triviais são