Questão 1. (2,5 pontos).
(a) Usando o método de variação de parâmetros, determine a solução geral da EDOL
x^2 y^prime prime+3 x y^prime-3 y=2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver por variação de parâmetros a equação de Euler
x^2y''+3x,y'-3y=2x
Isso é uma EDOL de coeficientes variáveis do tipo Cauchy–Euler. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois usar variação de parâmetros para obter uma particular.

Passo 2

Dividimos tudo por x^2 (supondo xneq0) para passar à forma padrão:
y''+3xy'-3x^2y=2xx^2=2x
Chame g(x)=2/x.

Passo 3

Para a homogênea
y''+3xy'-3x^2y=0
tentamos y=x^m. Substituindo,
m(m-1)x^m-2+3m,x^m-2-3x^m-2=0
Rightarrow m^2+2m-3=0, cujas raízes são
m=-2pmraiz4+122=1,,-3
Logo
yh=C1x+C2x^-3

Passo 4

Definimos as duas soluções lineares independentes
y1(x)=x, y2(x)=x^-3
e calculamos o wronskiano
W(x)= y1&y2 y1'&y2' =xcdot(-3x^-4)-1cdot x^-3 =-4x^-3

Passo 5

As fórmulas de variação de parâmetros dizem
u1'=-g(x),y2W, u2'=g(x),y1W

Passo 6

Substituindo g(x)=2/x, y1=x, y2=x^-3 e W=-4x^-3:
u1'=-tfrac2x,x^-3-4x^-3 =2x^-44x^-3 =tfrac12,x^-1, u2'=tfrac2x,x-4x^-3 =-24x^3 =-tfrac12,x^3
Integrando,
u1=tfrac12integral x^-1dx=tfrac12ln|x|, u2=-tfrac12integral x^3dx=-tfrac12cdotx^44=-x^48

Passo 7

A solução particular é
yp=u1y1+u2y2 =l(tfrac12ln|x|r)x -x^48,x^-3 =x2ln|x|-x8
Podemos notar que o termo -tfracx8 é proporcional a x e, portanto, pode ser absorvido em C1x da homogênea. Fica mais simples guardar apenas o primeiro termo “novo”.

Passo 8

A solução geral combina homogênea e particular:
y=C1x+C2x^-3+x2ln|x|

Resposta

y=C1x+C2x^-3+x2ln|x|

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