Questão 4. (2 pontos) Usando a Regra da Cadeia, determine \frac{d f}{d t} :
f(x, y)=x y, onde x=e^{t} e y=t^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar \dfrac{d f}{d t} para a função \,f(x,y)=xy\, quando x e y dependem de t segundo \,x=e^{t}\, e \,y=t^{3}\,.
Informações dadas:
f(x,y)=xy, \qquad x(t)=e^{t}, \qquad y(t)=t^{3}.

Passo 2

Apresento a regra que vamos usar (Regra da Cadeia para funções com duas variáveis). Se f depende de x e y, e x e y dependem de t, então
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{d y}{d t}.
Explicando devagar: \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x mantendo y fixo (chamamos de derivada parcial), e \dfrac{d x}{d t} é a derivada de x em relação a t. O termo análogo vale para y. A soma aparece porque pequenas variações em t afetam f via x e via y.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=xy. Tratamos x e y como variáveis independentes, diferenciando em relação a cada uma:
\frac{\partial f}{\partial x}=y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x.
Interpretação: se só x variar (mantendo y fixo), f varia como y vezes a variação de x; se só y variar, f varia como x vezes a variação de y.

Passo 4

Agora derivamos x(t) e y(t) em relação a t:
\frac{d x}{d t}=\frac{d}{dt}e^{t}=e^{t}, \qquad \frac{d y}{d t}=\frac{d}{dt}t^{3}=3t^{2}.
Pequena lembrança: a derivada de e^{t} é e^{t}; a derivada de t^{n} é n t^{n-1}.

Passo 5

Substituímos as parciais e as derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
\frac{d f}{d t} =\frac{\partial f}{\partial x}\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{d y}{d t} = y\cdot e^{t} + x\cdot 3t^{2}.

Passo 6

Finalmente, substituímos x(t)=e^{t} e y(t)=t^{3} para escrever \dfrac{df}{dt} em termos apenas de t:
\frac{d f}{d t}=t^{3}e^{t}+e^{t}\cdot 3t^{2}.
Podemos fatorar e^{t}t^{2} para simplificar:
\frac{d f}{d t}=e^{t}t^{2}(t+3).

Resposta

\frac{d f}{d t}=t^{3}e^{t}+3t^{2}e^{t}=e^{t}t^{2}(t+3).

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