Questão 4. (2 pontos) Usando a Regra da Cadeia, determine
:
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar
para a função
quando
e
dependem de
segundo
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
Passo 2
Apresento a regra que vamos usar (Regra da Cadeia para funções com duas variáveis). Se
depende de
e
, e
e
dependem de
, então
Explicando devagar:
é a derivada de
em relação a
mantendo
fixo (chamamos de derivada parcial), e
é a derivada de
em relação a
. O termo análogo vale para
. A soma aparece porque pequenas variações em
afetam
via
e via
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
. Tratamos
e
como variáveis independentes, diferenciando em relação a cada uma:
Interpretação: se só
variar (mantendo
fixo),
varia como
vezes a variação de
; se só
variar,
varia como
vezes a variação de
.
Passo 4
Agora derivamos
e
em relação a
:
Pequena lembrança: a derivada de
é
; a derivada de
é
.
Passo 5
Substituímos as parciais e as derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
Passo 6
Finalmente, substituímos
e
para escrever
em termos apenas de
:
Podemos fatorar
para simplificar: