Questão 4. (2 pontos) Usando a Regra da Cadeia, determine \frac{d f}{d t} :
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, onde x=\ln (t) e y=t.

Passo 1

O enunciado pede a derivada total \dfrac{d f}{d t} da função f em relação a t, dadas as relações entre as variáveis. As informações fornecidas são:
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
x=\ln(t),
y=t.
O que precisamos encontrar é \dfrac{d f}{d t} expressa em função de t. Note que, implicitamente, o domínio exige t>0 para que \ln(t) esteja definido.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis: quando f depende de x e y, e ambos dependem de t, a derivada total é dada por
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{d y}{d t}.
Aqui \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x mantendo y fixo, e \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y mantendo x fixo. A ideia é “acompanhar” como f muda quando x muda com t e quando y muda com t.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Primeiro observe que \sqrt{u} = u^{1/2} e a derivada é \dfrac{d}{du}u^{1/2}=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}. Aplicando a regra da cadeia para a variável x (tratando y como constante):
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
De forma análoga, derivando em relação a y (com x constante):
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot 2y=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de x e y em relação a t. Como x=\ln(t), sabemos que
\frac{d x}{d t}=\frac{d}{d t}\ln(t)=\frac{1}{t}\quad\text{(para \(t>0\))}.
Como y=t, temos
\frac{d y}{d t}=\frac{d}{d t}t=1.

Passo 5

Aplicando a fórmula da regra da cadeia do Passo 2 com as derivadas parciais e as derivadas de x e y que encontramos:
\frac{d f}{d t}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot\frac{1}{t}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot 1.
Podemos colocar em evidência o denominador comum \sqrt{x^{2}+y^{2}}:
\frac{d f}{d t}=\frac{x}{t\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 6

Substituímos agora x=\ln(t) e y=t na expressão acima e simplificamos. Primeiro escrevemos com denominador comum t\sqrt{(\ln t)^{2}+t^{2}}:
\frac{d f}{d t}=\frac{\ln(t)}{t\sqrt{(\ln t)^{2}+t^{2}}}+\frac{t}{\sqrt{(\ln t)^{2}+t^{2}}}=\frac{\ln(t)}{t\sqrt{(\ln t)^{2}+t^{2}}}+\frac{t^{2}}{t\sqrt{(\ln t)^{2}+t^{2}}}.
Somando as frações (mesmo denominador) obtemos
\frac{d f}{d t}=\frac{t^{2}+\ln(t)}{t\sqrt{(\ln t)^{2}+t^{2}}}.
Lembre-se do domínio t>0, que garante \ln(t) definido e o denominador não nulo (a raiz é positiva exceto talvez em pontos onde x=y=0, mas aqui y=t>0 evita isso).

Resposta

\displaystyle \frac{t^{2}+\ln(t)}{t\sqrt{(\ln t)^{2}+t^{2}}}

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