Questão 4. (2 pontos) Usando a Regra da Cadeia, determine
:
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada total
da função
em relação a
, dadas as relações entre as variáveis. As informações fornecidas são:
O que precisamos encontrar é
expressa em função de
. Note que, implicitamente, o domínio exige
para que
esteja definido.
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis: quando
depende de
e
, e ambos dependem de
, a derivada total é dada por
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo, e
é a derivada parcial em relação a
mantendo
fixo. A ideia é “acompanhar” como
muda quando
muda com
e quando
muda com
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
. Primeiro observe que
e a derivada é
. Aplicando a regra da cadeia para a variável
(tratando
como constante):
De forma análoga, derivando em relação a
(com
constante):
Passo 4
Agora calculamos as derivadas de
e
em relação a
. Como
, sabemos que
Como
, temos
Passo 5
Aplicando a fórmula da regra da cadeia do Passo 2 com as derivadas parciais e as derivadas de
e
que encontramos:
Podemos colocar em evidência o denominador comum
:
Passo 6
Substituímos agora
e
na expressão acima e simplificamos. Primeiro escrevemos com denominador comum
:
Somando as frações (mesmo denominador) obtemos
Lembre-se do domínio
, que garante
definido e o denominador não nulo (a raiz é positiva exceto talvez em pontos onde
, mas aqui
evita isso).