Questão 1 (3 pontos)

Use coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular a integral.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{\sqrt{4 - x^{2}}}\!\int_{0}^{\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}} x^{2}\,dz\,dy\,dx
sobre a região cheia pelo primeiro octante da esfera de raio 2. O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas (ou esféricas) para simplificar a integral.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com Jacobiano \,r\,dr\,d\theta\,dz. A região é
0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2},\quad 0 \le r \le 2,\quad 0 \le z \le \sqrt{4 - r^{2}}.
O integrando x^{2}\,dV vira
(r\cos\theta)^{2}\cdot r\,dr\,d\theta\,dz = r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 3

Escrevendo a integral em cilíndricas:
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\int_{r=0}^{2}\!\int_{z=0}^{\sqrt{4-r^{2}}} r^{3}\cos^{2}\theta\,dz\,dr\,d\theta.
Primeiro integramos em z:
\int_{0}^{\sqrt{4-r^{2}}}\!dz = \sqrt{4 - r^{2}},
ficando
\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{2} r^{3}\cos^{2}\theta\,\sqrt{4 - r^{2}}\,dr\,d\theta.

Passo 4

A integral separa-se em \theta e r:
\Bigl(\!\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta\Bigr) \;\times\; \Bigl(\!\int_{0}^{2}r^{3}\sqrt{4 - r^{2}}\,dr\Bigr).
Sabemos que
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{\pi}{4}.

Passo 5

Para \displaystyle I=\int_{0}^{2}r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\,dr,
faça u=4-r^{2}, du=-2r\,dr. A conta leva a
I = \frac{64}{15}.

Passo 6

Multiplicando os resultados:
\frac{\pi}{4}\times \frac{64}{15} = \frac{16\pi}{15}.

Resposta

\frac{16\pi}{15}

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