Questão 2 (4 pontos)

Calcule a integral de linha ao longo de C.
\int_{C}(x+2 y) \mathrm{d} x+(-2 x-y) \mathrm{d} y
C: x=2 \cos t, \quad y=4 \operatorname{sen} t, \quad 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}(x+2y)\,\mathrm{d}x+(-2x-y)\,\mathrm{d}y
ao longo da curva C dada pela parametrização
x=2\cos t,\quad y=4\sin t,\quad 0\le t\le\frac{\pi}{4}.
O tema é integral de linha de um campo vetorial. Vamos usar a parametrização para expressar x, y, \mathrm{d}x e \mathrm{d}y em função de t.

Passo 2

Da parametrização temos
x(t)=2\cos t,\quad y(t)=4\sin t.
Então
\mathrm{d}x = x'(t)\,\mathrm{d}t = -2\sin t\,\mathrm{d}t,
\mathrm{d}y = y'(t)\,\mathrm{d}t = 4\cos t\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Substituindo na integral de linha:
\int_{0}^{\pi/4}\Bigl[x(t)+2y(t)\Bigr]\,\mathrm{d}x +\Bigl[-2x(t)-y(t)\Bigr]\,\mathrm{d}y.
Ou seja,
\int_{0}^{\pi/4} \bigl(2\cos t+2\cdot4\sin t\bigr)\bigl(-2\sin t\bigr) +\bigl(-2\cdot2\cos t-4\sin t\bigr)\bigl(4\cos t\bigr) \;\mathrm{d}t.

Passo 4

Vamos expandir e agrupar:
(2\cos t+8\sin t)(-2\sin t) = -4\cos t\sin t -16\sin^2 t,
(-4\cos t-4\sin t)(4\cos t) = -16\cos^2 t -16\sin t\cos t.
Somando,
-4\cos t\sin t -16\sin^2 t -16\cos^2 t -16\sin t\cos t = -16(\sin^2 t+\cos^2 t)-20\sin t\cos t = -16 -20\sin t\cos t.

Passo 5

A integral fica
\int_{0}^{\pi/4}\bigl(-16 -20\sin t\cos t\bigr)\mathrm{d}t = -16\int_{0}^{\pi/4}1\,\mathrm{d}t -20\int_{0}^{\pi/4}\sin t\cos t\,\mathrm{d}t.
Sabemos que
\int_{0}^{\pi/4}1\,\mathrm{d}t = \frac{\pi}{4}, \quad \int_{0}^{\pi/4}\sin t\cos t\,\mathrm{d}t =\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}\sin(2t)\,\mathrm{d}t =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\Bigl[ -\cos(2t)\Bigr]_{0}^{\pi/4} =\frac{1}{4}.
Logo,
-16\cdot\frac{\pi}{4}-20\cdot\frac{1}{4} = -4\pi -5.

Resposta

-4\pi -5

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