Verdadeiro ou falso:
Passo 1
O enunciado envolve uma sequência
com
e tal que
Isso significa que
, ou seja,
é estritamente decrescente e sempre positiva. Em geral, uma sequência decrescente e limitada inferiormente converge a algum limite
. A questão é: esse limite tem de ser necessariamente zero?
Passo 2
Se uma sequência positiva é estritamente decrescente, ela converge a um limite
. Se fosse verdade que sempre converge a zero, então não existiriam exemplos de sequência decrescente cuja soma dos termos ou seu limite seja outro valor positivo. Porém, nada no enunciado impede que o limite seja um valor
, desde que o decaimento seja cada vez mais lento e a razão
permaneça sempre abaixo de
.
Passo 3
Considere o exemplo
Temos
para todo
e, como
, vale
Entretanto,
Isso mostra que a hipótese não garante
.
Resposta
Falso.