Verdadeiro ou falso:
\text { Se }\left\{a_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} \text { é tal que } \forall n \in \mathbb{N}, a_{n}>0 \text { e } \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1 \text { então } \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 \text {. }éã

Passo 1

O enunciado envolve uma sequência \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} com a_{n}>0 e tal que
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1\quad\forall n.
Isso significa que a_{n+1}<a_{n}, ou seja, \{a_{n}\} é estritamente decrescente e sempre positiva. Em geral, uma sequência decrescente e limitada inferiormente converge a algum limite L\ge0. A questão é: esse limite tem de ser necessariamente zero?

Passo 2

Se uma sequência positiva é estritamente decrescente, ela converge a um limite L\ge0. Se fosse verdade que sempre converge a zero, então não existiriam exemplos de sequência decrescente cuja soma dos termos ou seu limite seja outro valor positivo. Porém, nada no enunciado impede que o limite seja um valor L>0, desde que o decaimento seja cada vez mais lento e a razão \tfrac{a_{n+1}}{a_{n}} permaneça sempre abaixo de 1.

Passo 3

Considere o exemplo
a_{n}=1+\frac1n.
Temos a_{n}>0 para todo n e, como 1+\tfrac1{n+1}<1+\tfrac1n, vale
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{1+\tfrac1{n+1}}{1+\tfrac1n}<1.
Entretanto,
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac1n\Bigr) =1\neq0.
Isso mostra que a hipótese não garante \lim a_{n}=0.

Resposta

Falso.

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