5
Questão. (1,5 pontos) Use o Critério de Comparação para determinar se as integrais impróprias convergem ou divergem:
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2} \sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}\sqrt{x}}\,dx
converge ou diverge. Informações dadas e observações iniciais úteis:
  • O intervalo de integração é [1,+\infty), por isso a integral é imprópria pelo limite infinito.
  • A função integranda é \dfrac{1}{x^{2}\sqrt{x}}. Para x\ge 1 essa função é positiva e bem definida (não há singularidade no interior do intervalo).
  • O que se pede: decidir convergência (integral finita) ou divergência (integral infinita).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão da integranda para ver sua ordem de decaimento quando x\to+\infty. Lembre que \sqrt{x}=x^{1/2}. Portanto
\frac{1}{x^{2}\sqrt{x}}=\frac{1}{x^{2}x^{1/2}}=\frac{1}{x^{2+\tfrac{1}{2}}}=\frac{1}{x^{5/2}}.
Ou seja, a integral é
\int_{1}^{+\infty} x^{-5/2}\,dx.

Passo 3

Vou explicar o Critério-p (teste da integral p) que vamos usar — é um caso concreto do Critério de Comparação:
  • Considere a integral \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\dfrac{1}{x^{p}}\,dx.
  • Se p>1 essa integral converge; se p\le 1 ela diverge.
    Agora um breve motivo (como provar isso rapidamente):
  • Para p\neq 1 a primitiva é \displaystyle\int x^{-p}\,dx=\frac{x^{-p+1}}{-p+1}+C.
  • Avaliando como integral imprópria,
\int_{1}^{b} x^{-p}\,dx=\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\Big|_{1}^{b}=\frac{b^{-p+1}-1}{-p+1}.
  • Ao fazer b\to+\infty esse limite é finito só quando o expoente em b^{-p+1} é negativo, isto é quando -p+1<0 ou seja p>1. Para p>1 o termo b^{-p+1}\to 0 e a integral dá um número finito; para p\le 1 o termo não tende a zero e a integral diverge.
    Esse é um caso padrão do Critério de Comparação: funções que se comportam como 1/x^{p} com p>1 ao infinito têm integral convergente.

Passo 4

Aplicando o Critério-p ao nosso caso: a integranda é x^{-5/2}, ou seja corresponde a p=\tfrac{5}{2}.
  • Observe que \tfrac{5}{2}=2{,}5>1. Então, pelo Critério-p, a integral
\int_{1}^{+\infty} x^{-5/2}\,dx
converge.

Passo 5

Para consolidar e mostrar um cálculo direto (útil na prova se pedirem o valor): calcule a primitiva de x^{-5/2}. Para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{5}{2}, então n+1=-\tfrac{3}{2}. Assim
\int x^{-5/2}\,dx=\frac{x^{-3/2}}{-3/2}+C=-\frac{2}{3}x^{-3/2}+C.
A integral imprópria é então
\int_{1}^{+\infty} x^{-5/2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left(-\frac{2}{3}b^{-3/2}+ \frac{2}{3}\cdot 1^{-3/2}\right)=0+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}.
Portanto além de convergir, ela tem valor finito \tfrac{2}{3}.

Resposta

Converge

Exercícios relacionados