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Questão. (1,5 pontos) Use o Critério de Comparação para determinar se as integrais impróprias convergem ou divergem:
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2} \sqrt{x}} d x
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}\sqrt{x}}\,dx
converge ou diverge. Informações dadas e observações iniciais úteis:
O intervalo de integração é [1,+\infty), por isso a integral é imprópria pelo limite infinito.
A função integranda é \dfrac{1}{x^{2}\sqrt{x}}. Para x\ge 1 essa função é positiva e bem definida (não há singularidade no interior do intervalo).
O que se pede: decidir convergência (integral finita) ou divergência (integral infinita).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão da integranda para ver sua ordem de decaimento quando x\to+\infty. Lembre que \sqrt{x}=x^{1/2}. Portanto
Ao fazer b\to+\infty esse limite é finito só quando o expoente em b^{-p+1} é negativo, isto é quando -p+1<0 ou seja p>1. Para p>1 o termo b^{-p+1}\to 0 e a integral dá um número finito; para p\le 1 o termo não tende a zero e a integral diverge.
Esse é um caso padrão do Critério de Comparação: funções que se comportam como 1/x^{p} com p>1 ao infinito têm integral convergente.
Passo 4
Aplicando o Critério-p ao nosso caso: a integranda é x^{-5/2}, ou seja corresponde a p=\tfrac{5}{2}.
Observe que \tfrac{5}{2}=2{,}5>1. Então, pelo Critério-p, a integral
\int_{1}^{+\infty} x^{-5/2}\,dx
converge.
Passo 5
Para consolidar e mostrar um cálculo direto (útil na prova se pedirem o valor): calcule a primitiva de x^{-5/2}. Para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{5}{2}, então n+1=-\tfrac{3}{2}. Assim