Questão 4 (3 pontos). Use os procedimentos vistos em aula para esboçar o gráfico da função:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
O conteúdo envolve: domínio, limites (inclusive limites laterais em
e em
), derivadas para monotonicidade, segunda derivada para concavidade, assíntotas e possíveis pontos de inflexão.
Passo 2
Determinar o domínio. Como há divisão por
no expoente, temos
.
Portanto o domínio é
Portanto o domínio é
Passo 3
Calcular os limites que definem as assíntotas verticais e horizontais:
- Limites em
:
logo existe assíntota vertical em
(ramo vai para
).
- Limites em
:
logo o ramo por
tende a zero quando se aproxima de
.
- Limites em
e :
logo existe assíntota horizontal
em ambos os extremos.
Passo 4
Estudar o sinal de
para monotonicidade. Primeiro derivada:
Como
sempre e
para todo
, temos
em cada ramo. Portanto
é estritamente decrescente em
e em
.
Passo 5
Estudar a segunda derivada para concavidade e inflexão. Derivando
:
Como
e
, o sinal de
é o de
.
- Se
, então e (concavidade para baixo). - Se
, então e (concavidade para cima).
Há ponto de inflexão em, onde
Passo 6
Resumo das características de cada ramo:
Ramo em
:
-
(assíntota horizontal ). -
(tende a zero). - Função estritamente decrescente.
- Concavidade para baixo em
e para cima em . - Inflection point em
.
Ramo em
:
-
(assíntota vertical ). -
(assíntota horizontal ). - Função estritamente decrescente e sempre côncava para cima (
).
Passo 7
Esboço do gráfico:
- Desenhe a assíntota vertical
e a horizontal . - No ramo
, a curva vem de quando , passa pelo ponto de inflexão , e tende a zero ao se aproximar de . - No ramo
, a curva parte de em , decresce e se aproxima de quando , sempre côncava para cima.
Resposta
Esboço conforme descrito acima: assíntotas
e
; ramo à esquerda decrescente com inflexão em
; ramo à direita decrescente, côncavo para cima, de
em
a 1 em
.