Questão 4 (3 pontos). Use os procedimentos vistos em aula para esboçar o gráfico da função:
f(x)=e^1 / x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=e^1/x
O conteúdo envolve: domínio, limites (inclusive limites laterais em x=0 e em pminfty), derivadas para monotonicidade, segunda derivada para concavidade, assíntotas e possíveis pontos de inflexão.

Passo 2

Determinar o domínio. Como há divisão por x no expoente, temos xneq0.
Portanto o domínio é
(-infty,0)cup(0,infty)

Passo 3

Calcular os limites que definem as assíntotas verticais e horizontais:
  1. Limites em xto0^+:
limxto0^+1/x=+inftyLongrightarrowlimxto0^+f(x)=e^+infty=+infty,
logo existe assíntota vertical em x=0 (ramo vai para +infty).
  1. Limites em xto0^-:
limxto0^-1/x=-inftyLongrightarrowlimxto0^-f(x)=e^-infty=0,
logo o ramo por x<0 tende a zero quando se aproxima de 0.
  1. Limites em xto+infty e xto-infty:
limxtopminfty1/x=0Longrightarrowlimxtopminftyf(x)=e^0=1,
logo existe assíntota horizontal y=1 em ambos os extremos.

Passo 4

Estudar o sinal de f'(x) para monotonicidade. Primeiro derivada:
f'(x)=ddxl(e^1/xr) =e^1/xcdotddxl(1/xr) =e^1/xcdotl(-tfrac1x^2r) =-1x^2,e^1/x
Como e^1/x>0 sempre e -1/x^2<0 para todo xneq0, temos f'(x)<0 em cada ramo. Portanto f é estritamente decrescente em (-infty,0) e em (0,infty).

Passo 5

Estudar a segunda derivada para concavidade e inflexão. Derivando f'(x)=-x^-2e^1/x:
f''(x) =ddxl(-x^-2r)e^1/x +(-x^-2)ddxl(e^1/xr) =2x^-3e^1/x+x^-2cdot1x^2e^1/x =e^1/xl(2x^3+1x^4r) =e^1/x,2x+1x^4
Como e^1/x>0 e x^4>0, o sinal de f''(x) é o de (2x+1).
  • Se x<-tfrac12, então 2x+1<0 e f''(x)<0 (concavidade para baixo).
  • Se x>-tfrac12, então 2x+1>0 e f''(x)>0 (concavidade para cima).
    Há ponto de inflexão em x=-tfrac12, onde
fl(-tfrac12r) =e^1/(-1/2) =e^-2

Passo 6

Resumo das características de cada ramo:
Ramo em (-infty,0):
  • limxto-inftyf(x)=1 (assíntota horizontal y=1).
  • limxto0^-f(x)=0 (tende a zero).
  • Função estritamente decrescente.
  • Concavidade para baixo em (-infty,-tfrac12) e para cima em (-tfrac12,0).
  • Inflection point em l(-tfrac12,e^-2r).
Ramo em (0,infty):
  • limxto0^+f(x)=+infty (assíntota vertical x=0).
  • limxto+inftyf(x)=1 (assíntota horizontal y=1).
  • Função estritamente decrescente e sempre côncava para cima ( x>0>-tfrac12).

Passo 7

Esboço do gráfico:
  1. Desenhe a assíntota vertical x=0 e a horizontal y=1.
  2. No ramo x<0, a curva vem de yapprox1 quando xto-infty, passa pelo ponto de inflexão l(-tfrac12,e^-2r), e tende a zero ao se aproximar de x=0.
  3. No ramo x>0, a curva parte de +infty em xto0^+, decresce e se aproxima de y=1 quando xto+infty, sempre côncava para cima.

Resposta

Esboço conforme descrito acima: assíntotas x=0 e y=1; ramo à esquerda decrescente com inflexão em l(-tfrac12,e^-2r); ramo à direita decrescente, côncavo para cima, de +infty em xto0^+ a 1 em xto+infty.

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