Questão 4: ( 2,5 pontos) Use o teorema do sanduíche para calcular os limites a seguir:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{4} \sin \left(\frac{1}{x^{2}+|y|}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{4}\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+|y|}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{a)}\\ \text{A função envolve } \sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+|y|}\right), \text{ cujo argumento está definido para }(x,y)\neq(0,0),çãá
\text{b)}\\ \text{o fator multiplicativo é }x^{4},é
\text{c)}\\ \text{o problema instrui a usar o teorema do sanduíche (squeeze theorem).}í
Não se resolve nada neste passo; apenas identificamos o que é pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Enunciado do teorema do sanduíche (versão que usaremos): se, numa vizinhança de (0,0) (exceto possivelmente em (0,0) em si), temos funções g(x,y), f(x,y) e h(x,y) tais que
g(x,y)\le f(x,y)\le h(x,y)
para todos os pontos dessa vizinhança, e se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)=\lim_{(x,y)\to(0,0)} h(x,y)=L,
então
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L.
Aqui L é um número real. Iremos encontrar duas funções que “sanduíchem” nossa função e cujos limites sejam iguais.

Passo 3

Usamos a desigualdade conhecida para a função seno: para todo real t,
-1\le \sin(t)\le 1.
Tomando t=\dfrac{1}{x^{2}+|y|} (definido para (x,y)\neq(0,0)), obtemos
-1\le \sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+|y|}\right)\le 1.
Agora multiplicamos essa desigualdade por x^{4}. Observação importante: x^{4}\ge 0 para todo x, então ao multiplicar preservamos as desigualdades. Assim,
-x^{4}\le x^{4}\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+|y|}\right)\le x^{4},
válido para todo (x,y)\neq(0,0) numa vizinhança de (0,0).

Passo 4

Calculemos os limites das funções que aparecem nas bordas da desigualdade. Primeiro, note que quando (x,y)\to(0,0) então x\to 0, portanto x^{4}\to 0. Podemos reforçar isso com uma desigualdade em termos da norma: para todo (x,y),
|x| \le \sqrt{x^{2}+y^{2}},
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|x^{4}| = |x|^{4} \le \big(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big)^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2}.
Como (x,y)\to(0,0) implica x^{2}+y^{2}\to 0, segue que (x^{2}+y^{2})^{2}\to 0 e, portanto,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{4}=0.
Analogamente,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} -x^{4}=0.

Passo 5

Aplicando o teorema do sanduíche à desigualdade
-x^{4}\le x^{4}\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+|y|}\right)\le x^{4},
e usando que ambos os limites das funções das bordas são 0, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{4}\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+|y|}\right)=0.
Bom trabalho! Esse é um padrão clássico: quando você tem uma função oscilante (como seno) multiplicada por um fator que vai a zero, muitas vezes dá para aplicar o teorema do sanduíche.

Resposta

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