Questão 4: ( 2,5 pontos) Use o teorema do sanduíche para calcular os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não se resolve nada neste passo; apenas identificamos o que é pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Enunciado do teorema do sanduíche (versão que usaremos): se, numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
em si), temos funções
,
e
tais que
para todos os pontos dessa vizinhança, e se
então
Aqui
é um número real. Iremos encontrar duas funções que “sanduíchem” nossa função e cujos limites sejam iguais.
Passo 3
Usamos a desigualdade conhecida para a função seno: para todo real
,
Tomando
(definido para
), obtemos
Agora multiplicamos essa desigualdade por
. Observação importante:
para todo
, então ao multiplicar preservamos as desigualdades. Assim,
válido para todo
numa vizinhança de
.
Passo 4
Calculemos os limites das funções que aparecem nas bordas da desigualdade. Primeiro, note que quando
então
, portanto
. Podemos reforçar isso com uma desigualdade em termos da norma: para todo
,
logo
Como
implica
, segue que
e, portanto,
Analogamente,
Passo 5
Aplicando o teorema do sanduíche à desigualdade
e usando que ambos os limites das funções das bordas são
, concluímos que
Bom trabalho! Esse é um padrão clássico: quando você tem uma função oscilante (como seno) multiplicada por um fator que vai a zero, muitas vezes dá para aplicar o teorema do sanduíche.