Questão 4: ( 2,5 pontos) Use o teorema do sanduíche para calcular os limites a seguir:
, sabendo que
Passo 1
O enunciado pede o limite
e dá a informação adicional
Lista das informações relevantes que vamos usar: a expressão da função que depende de
e
, o ponto de interesse
, e a desigualdade fornecida. Não resolvemos nada ainda — só organizamos o que foi pedido e o que foi dado.
Passo 2
Vamos transformar o problema em algo mais simples usando a distância ao ponto
. Definimos
Explicação didática:
é a norma euclidiana do vetor
. Dizer
é equivalente a dizer
. Além disso, sempre vale
pois
é a hipotenusa do triângulo com catetos
e
. Isso é uma desigualdade básica: cada componente tem módulo menor ou igual à norma.
Passo 3
Usamos as desigualdades
e
para majorar o numerador. Como
é crescente em
para
, temos
e, analogamente,
Multiplicando as duas desigualdades,
Fazendo a soma dos expoentes em partes:
portanto
Passo 4
Agora dividimos pelo denominador
. Para
(caso em que a expressão original está definida), obtemos
Calculamos o expoente:
Logo
Passo 5
Aplicamos o teorema do sanduíche (teorema do confronto). Vou lembrar a versão usada: se
num vizinhança de
(exceto possivelmente em
) e se
, então
. Aqui escolhemos
Como
quando
, temos
. Portanto ambos os limites das funções menor e maior são
, e pelo teorema do sanduíche o limite de
também é
.
Passo 6
Conclusão final: a função fica encaixada entre
e uma função que tende a
, então o limite pedido é
. (Observação: a desigualdade fornecida no enunciado é verdadeira e pode ser útil em outros exercícios, mas aqui a estimativa via
já é suficiente e direta.)