Questão 4: ( 2,5 pontos) Use o teorema do sanduíche para calcular os limites a seguir:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|x|^{4 / 3}|y|^{8 / 7}}{x^{2}+y^{2}}\,, sabendo que 0 \leq \frac{|x y|}{x^{2}+y^{2}} \leq \frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{|x|^{4/3}\,|y|^{8/7}}{x^{2}+y^{2}}
e dá a informação adicional
0 \le \frac{|x y|}{x^{2}+y^{2}} \le \frac{1}{2}.
Lista das informações relevantes que vamos usar: a expressão da função que depende de x e y, o ponto de interesse (0,0), e a desigualdade fornecida. Não resolvemos nada ainda — só organizamos o que foi pedido e o que foi dado.

Passo 2

Vamos transformar o problema em algo mais simples usando a distância ao ponto (0,0). Definimos
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Explicação didática: r é a norma euclidiana do vetor (x,y). Dizer (x,y)\to(0,0) é equivalente a dizer r\to 0. Além disso, sempre vale
|x|\le r\quad\text{e}\quad |y|\le r,
pois r é a hipotenusa do triângulo com catetos |x| e |y|. Isso é uma desigualdade básica: cada componente tem módulo menor ou igual à norma.

Passo 3

Usamos as desigualdades |x|\le r e |y|\le r para majorar o numerador. Como |x|^{4/3} é crescente em |x| para |x|\ge 0, temos
|x|^{4/3}\le r^{4/3}
e, analogamente,
|y|^{8/7}\le r^{8/7}.
Multiplicando as duas desigualdades,
|x|^{4/3}\,|y|^{8/7} \le r^{4/3}\,r^{8/7} = r^{\frac{4}{3}+\frac{8}{7}}.
Fazendo a soma dos expoentes em partes:
\frac{4}{3}+\frac{8}{7}=\frac{28}{21}+\frac{24}{21}=\frac{52}{21},
portanto
|x|^{4/3}\,|y|^{8/7}\le r^{52/21}.

Passo 4

Agora dividimos pelo denominador x^{2}+y^{2}=r^{2}. Para (x,y)\neq(0,0) (caso em que a expressão original está definida), obtemos
0 \le \frac{|x|^{4/3}\,|y|^{8/7}}{x^{2}+y^{2}} \le \frac{r^{52/21}}{r^{2}} = r^{\frac{52}{21}-2}.
Calculamos o expoente:
\frac{52}{21}-2=\frac{52-42}{21}=\frac{10}{21}.
Logo
0 \le \frac{|x|^{4/3}\,|y|^{8/7}}{x^{2}+y^{2}} \le r^{10/21}.

Passo 5

Aplicamos o teorema do sanduíche (teorema do confronto). Vou lembrar a versão usada: se g(x,y)\le f(x,y)\le h(x,y) num vizinhança de (0,0) (exceto possivelmente em (0,0)) e se \lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)=\lim_{(x,y)\to(0,0)} h(x,y)=L, então \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L. Aqui escolhemos
g(x,y)=0,\qquad f(x,y)=\frac{|x|^{4/3}\,|y|^{8/7}}{x^{2}+y^{2}},\qquad h(x,y)=r^{10/21}.
Como r\to 0 quando (x,y)\to(0,0), temos r^{10/21}\to 0. Portanto ambos os limites das funções menor e maior são 0, e pelo teorema do sanduíche o limite de f(x,y) também é 0.

Passo 6

Conclusão final: a função fica encaixada entre 0 e uma função que tende a 0, então o limite pedido é 0. (Observação: a desigualdade fornecida no enunciado é verdadeira e pode ser útil em outros exercícios, mas aqui a estimativa via r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} já é suficiente e direta.)

Resposta

0

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