Questão 3 ( 4,0 pontos) - Usina Hidrelétrica de Itaipu é a maior fonte individual de produçăo de energia renovável do mundo. Cada unidade geradora de Itaipu tem capacidade igual a 700 MW (quase o dobro da capacidade instalada de geração do Estado de Roraima). Suponha que, quando chamada a operar, a probabilidade de falha de uma unidade geradora seja de
, e que estas falhas sejam independentes.
Admita que a Usina Hidrelétrica de Itaipu possua 20 unidades geradoras, com características idênticas. Qual a probabilidade de se encontrar 20 unidades geradoras operando ao mesmo tempo?
Passo 1
O enunciado pede: qual a probabilidade de encontrar todas as
unidades geradoras operando ao mesmo tempo? \n
Informações dadas: \n
Informações dadas: \n
- Número de unidades:
. \n - Probabilidade de falha de uma unidade ao ser chamada a operar:
, isto é . \n - As falhas são independentes entre unidades. \n
A pergunta é portanto: qual a probabilidade de nenhuma unidade falhar (ou seja, todas operarem simultaneamente)?
Passo 2
Modelagem do problema e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo). \n
Quando temos um conjunto de experimentos idênticos e independentes com dois resultados possíveis (sucesso ou falha), cada experimento é chamado de ensaio de Bernoulli. \n
Quando temos um conjunto de experimentos idênticos e independentes com dois resultados possíveis (sucesso ou falha), cada experimento é chamado de ensaio de Bernoulli. \n
- Aqui vamos chamar de “sucesso” o evento “uma unidade opera normalmente”. \n
- A probabilidade de sucesso em um ensaio é
. \n - A probabilidade de falha (não sucesso) é
. \n
Se realizamosensaios independentes e queremos a probabilidade de exatamente sucessos, usamos a distribuição binomial, cuja fórmula é: \n
Expliquei as partes da fórmula: \n
-
é o número de maneiras de escolher quais ensaios (entre ) foram sucesso; \n -
é a probabilidade de obter sucesso exatamente nessas ensaios; \n -
é a probabilidade de as outras serem falha. \n
Tudo isso multiplica porque os ensaios são independentes (a ocorrência em um não altera a probabilidade do outro).
Passo 3
Aplicando ao problema: identifique os parâmetros e substitua. \n
- Número de ensaios:
(as unidades). \n - Queremos todas operando, ou seja
sucessos. \n - Probabilidade de falha dada:
. Então probabilidade de operar (sucesso) é . \n
Substituindo na fórmula binomial com: \n
Agora observe que
e
. Portanto a expressão simplifica para: \n
Passo 4
Como calcular
manualmente (duas formas): explico um método de potência por quadratura (bom para prova sem calculadora) e um método de aproximação via logaritmo (bom para obter valor aproximado com poucas contas). \n
Método 1 — potência por quadratura (repetir multiplicações organizadas): \n
Método 1 — potência por quadratura (repetir multiplicações organizadas): \n
- Calcule
. \n - Calcule
. \n - Calcule
. \n - Calcule
. \n - Calcule
. \n
Esse procedimento organiza as multiplicações para reduzir trabalho e obter uma boa aproximação sem uma calculadora (os números intermediários eu já calculei para você; na prova você pode parar num número de casas que permita arredondamento razoável). \n
Método 2 — aproximação usando logaritmo natural (rápido e preciso): \n
Usamos quepode ser expandido em série quando é pequeno: \n
Aqui, então . Calculando termos: \n
Multiplicando por
:
. \n
Então . \n
Aproximando (use
e ajuste pelo pequeno termo restante) obtemos
. \n
Portanto ambas as abordagens conduzem ao mesmo resultado aproximado.
Então
Aproximando
Portanto ambas as abordagens conduzem ao mesmo resultado aproximado.
Passo 5
Interpretação final e cifra de confiança. \n
A probabilidade pedida é . Numericamente isso vale aproximadamente
, ou seja cerca de
. \n
Intuitivamente: cada unidade tem alta chance de operar ( ), mas exigir que todas
funcionem ao mesmo tempo reduz a probabilidade global para cerca de dois terços — isso faz sentido porque as chances de alguma falha aumentam com mais unidades independentes.
A probabilidade pedida é
Intuitivamente: cada unidade tem alta chance de operar (