Questão 3 ( 4,0 pontos) - Usina Hidrelétrica de Itaipu é a maior fonte individual de produçăo de energia renovável do mundo. Cada unidade geradora de Itaipu tem capacidade igual a 700 MW (quase o dobro da capacidade instalada de geração do Estado de Roraima). Suponha que, quando chamada a operar, a probabilidade de falha de uma unidade geradora seja de 2 \%, e que estas falhas sejam independentes.
Admita que a Usina Hidrelétrica de Itaipu possua 20 unidades geradoras, com características idênticas. Qual a probabilidade de se encontrar 20 unidades geradoras operando ao mesmo tempo?

Passo 1

O enunciado pede: qual a probabilidade de encontrar todas as 20 unidades geradoras operando ao mesmo tempo? \n
Informações dadas: \n
  • Número de unidades: 20. \n
  • Probabilidade de falha de uma unidade ao ser chamada a operar: 2\%, isto é \;0,02. \n
  • As falhas são independentes entre unidades. \n
    A pergunta é portanto: qual a probabilidade de nenhuma unidade falhar (ou seja, todas operarem simultaneamente)?

Passo 2

Modelagem do problema e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo). \n
Quando temos um conjunto de experimentos idênticos e independentes com dois resultados possíveis (sucesso ou falha), cada experimento é chamado de ensaio de Bernoulli. \n
  • Aqui vamos chamar de “sucesso” o evento “uma unidade opera normalmente”. \n
  • A probabilidade de sucesso em um ensaio é p. \n
  • A probabilidade de falha (não sucesso) é 1-p. \n
    Se realizamos n ensaios independentes e queremos a probabilidade de exatamente k sucessos, usamos a distribuição binomial, cuja fórmula é: \n
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k}
Expliquei as partes da fórmula: \n
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k ensaios (entre n) foram sucesso; \n
  • p^{k} é a probabilidade de obter sucesso exatamente nessas k ensaios; \n
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de as outras n-k serem falha. \n
    Tudo isso multiplica porque os ensaios são independentes (a ocorrência em um não altera a probabilidade do outro).

Passo 3

Aplicando ao problema: identifique os parâmetros e substitua. \n
  • Número de ensaios: n=20 (as 20 unidades). \n
  • Queremos todas operando, ou seja k=20 sucessos. \n
  • Probabilidade de falha dada: 0,02. Então probabilidade de operar (sucesso) é p=1-0,02=0,98. \n
    Substituindo na fórmula binomial com k=n=20: \n
P(X=20)=\binom{20}{20} \, (0,98)^{20} \, (1-0,98)^{0}
Agora observe que \binom{20}{20}=1 e (1-0,98)^{0}=1. Portanto a expressão simplifica para: \n
P(X=20)=(0,98)^{20}.

Passo 4

Como calcular (0,98)^{20} manualmente (duas formas): explico um método de potência por quadratura (bom para prova sem calculadora) e um método de aproximação via logaritmo (bom para obter valor aproximado com poucas contas). \n
Método 1 — potência por quadratura (repetir multiplicações organizadas): \n
  • Calcule 0,98^{2}=0,9604. \n
  • Calcule 0,98^{4}=(0,98^{2})^{2}=(0,9604)^{2}=0,92236816. \n
  • Calcule 0,98^{5}=0,98^{4}\cdot 0,98=0,92236816\cdot 0,98=0,9039207968. \n
  • Calcule 0,98^{10}=(0,98^{5})^{2}\approx(0,9039207968)^{2}\approx0,817072806. \n
  • Calcule 0,98^{20}=(0,98^{10})^{2}\approx(0,817072806)^{2}\approx0,6676. \n
    Esse procedimento organiza as multiplicações para reduzir trabalho e obter uma boa aproximação sem uma calculadora (os números intermediários eu já calculei para você; na prova você pode parar num número de casas que permita arredondamento razoável). \n
    Método 2 — aproximação usando logaritmo natural (rápido e preciso): \n
    Usamos que \ln(1-x) pode ser expandido em série quando x é pequeno: \ln(1-x) \approx -x -\dfrac{x^{2}}{2} -\dfrac{x^{3}}{3}-\dots \n
    Aqui x=0,02, então \ln(0,98)=\ln(1-0,02)\approx -0,02 -\dfrac{0,02^{2}}{2} -\dfrac{0,02^{3}}{3}-\dfrac{0,02^{4}}{4}. Calculando termos: \n
\ln(0,98)\approx -0,02 -0,0002 -0,0000026667 -0,00000004 \approx -0,0202027067.
Multiplicando por 20: \;20\ln(0,98)\approx -0,404054134. \n
Então (0,98)^{20}=e^{20\ln(0,98)}\approx e^{-0,404054134}. \n
Aproximando e^{-0,404054134} (use e^{-0,4}\approx0,670320 e ajuste pelo pequeno termo restante) obtemos \approx0,6676. \n
Portanto ambas as abordagens conduzem ao mesmo resultado aproximado.

Passo 5

Interpretação final e cifra de confiança. \n
A probabilidade pedida é (0,98)^{20}. Numericamente isso vale aproximadamente 0,6676, ou seja cerca de 66,76\%. \n
Intuitivamente: cada unidade tem alta chance de operar ( 98\%), mas exigir que todas 20 funcionem ao mesmo tempo reduz a probabilidade global para cerca de dois terços — isso faz sentido porque as chances de alguma falha aumentam com mais unidades independentes.

Resposta

(0,98)^{20} \n
\approx 0,6676

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