• (2,0) Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral, tais que P(A)=1 / 2, P(B)= 1 / 3 e P(A \cap B)=1 / 4. Obtenha:
    a) (pontuação: 0,5 ) P(A \cup B);
    b) (pontuação: 0,5 ) P(\bar{A} \cap \bar{B});
    c) (pontuação: 1,0 ) P(A \mid \bar{B}).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
P(A)=\tfrac{1}{2},\qquad P(B)=\tfrac{1}{3},\qquad P(A\cap B)=\tfrac{1}{4}.
As perguntas são:
a) Calcular \;P(A\cup B)\;.
b) Calcular \;P(\overline{A}\cap\overline{B})\;.
c) Calcular \;P(A\mid\overline{B})\;.

Passo 2

Calcular \;P(A\cup B)\; usando a fórmula da inclusão-exclusão. Explicando: quando somamos P(A) e P(B) contamos duas vezes a região A\cap B, então subtraímos uma vez P(A\cap B). A fórmula é
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Agora substituímos os valores fornecidos:
P(A\cup B)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4}.
Fazendo as contas com denominador comum 12:
\tfrac{1}{2}=\tfrac{6}{12},\quad \tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{12},\quad \tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{12},
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P(A\cup B)=\tfrac{6}{12}+\tfrac{4}{12}-\tfrac{3}{12}=\tfrac{7}{12}.

Passo 3

Calcular \;P(\overline{A}\cap\overline{B})\;. Aqui usamos a Lei de De Morgan e a propriedade da probabilidade: \overline{A}\cap\overline{B}=(A\cup B)^{c}, então
P(\overline{A}\cap\overline{B})=1-P(A\cup B).
Substituindo o resultado do passo anterior:
P(\overline{A}\cap\overline{B})=1-\tfrac{7}{12}=\tfrac{5}{12}.

Passo 4

Calcular \;P(A\mid\overline{B})\;. Primeiro lembro a definição de probabilidade condicional: para eventos X e Y com P(Y)>0,
P(X\mid Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}.
Aqui X=A e Y=\overline{B}. Precisamos de P(A\cap\overline{B}) e P(\overline{B}).
  1. Calcular P(\overline{B}):
P(\overline{B})=1-P(B)=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
  1. Calcular P(A\cap\overline{B}). Observação prática: o evento A se divide em duas partes disjuntas A\cap B e A\cap\overline{B}, portanto
P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B}).
Isolando P(A\cap\overline{B}) temos
P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}.
  1. Agora aplicamos a definição de condicional:
P(A\mid\overline{B})=\frac{P(A\cap\overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{2}{3}}=\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{3}{2}=\tfrac{3}{8}.

Resposta

\tfrac{7}{12}
\tfrac{5}{12}
\tfrac{3}{8}

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