Questão 4: (2,5 pontos) Utilize a transformação dada para calcular a integral \iint_{R}(2 x+y) d A, onde R é a região triangular com vértices (0,0),(1,1) e ( 0,2 ). Use a transformação x=u-v, y=u+v.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}(2x+y)\,dA
sobre o triângulo R de vértices (0,0), (1,1) e (0,2), usando a transformação
x = u - v,\quad y = u + v.
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas. Vamos precisar do Jacobiano, da expressão do integrando em (u,v) e da descrição da região transformada.

Passo 2

Primeiro, invertemos a transformação para achar u e v em função de x,y. Somando e subtraindo:
u = \frac{x+y}{2},\quad v = \frac{y-x}{2}.
O Jacobiano é
J = \det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} 1 & -1\\[3pt] 1 & 1 \end{pmatrix} = 1\cdot1 - (-1)\cdot1 = 2.
Logo dA = |J|\,du\,dv = 2\,du\,dv. O integrando vira
2x+y = 2(u-v)+(u+v) = 3u - v.]

Passo 3

Mapeamos os vértices de R para (u,v):
(0,0)\mapsto\bigl(u=0,v=0\bigr),\quad (1,1)\mapsto\Bigl(u=1,v=0\Bigr),\quad (0,2)\mapsto\Bigl(u=1,v=1\Bigr).
Assim a região R vira o triângulo S com vértices (0,0), (1,0), (1,1). Em coordenadas (u,v), isso é
0\le u\le1,\quad 0\le v\le u.

Passo 4

A integral original se transforma em
\iint_{R}(2x+y)\,dA = \iint_{S}(3u - v)\,\bigl(2\,du\,dv\bigr) = 2\iint_{S}(3u - v)\,du\,dv.
Desenvolvendo em iteradas:
2\int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{u}(3u - v)\,dv\,du.

Passo 5

Calculamos primeiro em v:
\int_{v=0}^{u}(3u - v)\,dv = \bigl[3u\,v - \tfrac{1}{2}v^2\bigr]_{0}^{u} = 3u^2 - \tfrac12u^2 = \tfrac52\,u^2.
Multiplicando por 2 e integrando em u:
2\int_{0}^{1}\tfrac52\,u^2\,du = 5\int_{0}^{1}u^2\,du = 5\cdot\frac{1}{3} = \frac{5}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{3}

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