Questão 3: (2,5 pontos) Calcule a integral
transformando para coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
transformando para coordenadas esféricas. A região está limitada abaixo pelo paraboloide
, acima pela esfera
e no primeiro quadrante
,
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas tomamos
com jacobiano
O integrando
vira
logo o integrando total é
Passo 3
As superfícies transformam-se em esféricas assim:
- Paraboloide
dá
- Esfera
dá
No primeiro quadrante. O ângulo vai de até , em que as duas superfícies se cruzam:
Passo 4
A integral em esféricas fica
Passo 5
Embora tenhamos o conjunto em esféricas, a avaliação direta dessa integral exige cancelamentos de termos divergentes e é bastante trabalhosa. Uma forma mais simples de chegar ao resultado é voltar a coordenadas cilíndricas, onde a região é
,
,
,
e o integrando em cilíndricas é
e o integrando
Passo 6
Em cilíndricas temos
Calculamos
Então
Cada integral é elementar:
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