Questão 1. (2,5 pontos) Volume residual:
( 1,5 pontos) Obtenha a equaçăio para o cálculo do volume molar residual (VR) em funçăo do fator de compressibilidade " Z ".
D) ( 0,5 pontos) Calcule o volume molar residual para o metano submetido a 1000 kPa e 200°C com fator de compressibilidade igual a 1,124 .
C) (0,5 pontos) Nas condições da letra “b”, o metano pode ser considerado um gás ideal? Por quê? Se o metano fosse considerado em estado de gás ideal, qual seria o valor do volume molar residual?

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece dados. Vou listar claramente:
  • Perguntas:
    1. Obter a equação para o volume molar residual em função do fator de compressibilidade Z.
    2. Calcular o volume molar residual para metano nas condições dadas.
    3. Dizer se, nessas condições, o metano pode ser considerado gás ideal e, se fosse, qual seria o volume molar residual.
  • Dados fornecidos:
    • Pressão: P = 1000\\ \mathrm{kPa}.
    • Temperatura: T = 200^\circ\mathrm{C}.
    • Fator de compressibilidade: Z = 1,124.
  • Observação: vou usar a constante universal dos gases R. Vou escolher unidades compatíveis com P em kPa para obter volume em \mathrm{L/mol}: R = 8,3144621\\ \mathrm{kPa\cdot L/(mol\cdot K)}.
    Nada será calculado neste passo — só organizei o que é pedido e quais são os dados.

Passo 2

Definição e relação básica que vamos usar (aqui explico os conceitos).
  • O fator de compressibilidade Z é definido por
Z = \frac{P V}{R T},
onde:
  • P é a pressão (unidade compatível com R),
  • V é o volume molar real do gás (isto é, volume por mol, \mathrm{L/mol} ou \mathrm{m^3/mol}),
  • R é a constante universal dos gases,
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
  • A partir dessa definição isolamos o volume molar real V:
V = \frac{Z R T}{P}.
Explicação simples: para o gás ideal Z=1 e obtemos a lei dos gases ideais V^{\text{ig}} = RT/P. Para um gás real, Z ajusta esse valor.

Passo 3

Definição do volume molar residual e derivação da fórmula pedida.
  • O volume molar residual V^{R} é definido como a diferença entre o volume molar real e o volume molar que o gás teria se fosse ideal:
V^{R} = V - V^{\text{ig}}.
  • Sabemos que V^{\text{ig}} = \dfrac{R T}{P} (lei dos gases ideais) e que V = \dfrac{Z R T}{P} (do passo anterior). Substituindo:
V^{R} = \frac{Z R T}{P} - \frac{R T}{P}.
  • Fatorando \dfrac{R T}{P}:
V^{R} = \left(Z-1\right)\frac{R T}{P}.
Esta é a equação solicitada: o volume molar residual em função de Z.
Comentário didático rápido: V^{R} mede a diferença entre o comportamento real e o ideal. Se Z>1, V^{R}>0 (o volume real é maior que o ideal — efeito de forças repulsivas ou efeito de volume finito das moléculas). Se Z<1, V^{R}<0 (o volume real é menor que o ideal — forças atraentes dominantes).

Passo 4

Cálculo numérico do volume molar residual para o metano nas condições dadas.
  • Primeiro converto a temperatura para kelvin:
T = 200^\circ\mathrm{C} = 200 + 273{,}15 = 473{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Uso R = 8{,}3144621\\ \mathrm{kPa\cdot L/(mol\cdot K)}, P = 1000\\ \mathrm{kPa} e Z = 1{,}124.
  • Calculo passo a passo:
    1. Produto R T:
    R T = 8{,}3144621 \times 473{,}15 \approx 3932{,}987743\\ \mathrm{kPa\cdot L/mol}.
    1. Divide por P para obter \dfrac{R T}{P}:
    \frac{R T}{P} \approx \frac{3932{,}987743}{1000} = 3{,}932987743\\ \mathrm{L/mol}.
    1. Multiplica por (Z-1):
    Z-1 = 1{,}124 - 1 = 0{,}124.
V^{R} = 0{,}124 \times 3{,}932987743 \approx 0{,}48769048\\ \mathrm{L/mol}.
  • Resultado com arredondamento conveniente (3 algarismos significativos apropriados para engenharia):
V^{R} \approx 0{,}488\\ \mathrm{L/mol}.
  • Convertendo para \mathrm{m^3/mol} (lembrando que 1\\ \mathrm{L} = 10^{-3}\\ \mathrm{m^3}):
V^{R} \approx 4{,}88\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3/mol}.

Passo 5

Análise se o metano pode ser considerado gás ideal e qual seria V^{R} no caso ideal.
  • Comparação com gás ideal:
    • Para um gás ideal Z=1. Aqui Z=1{,}124, ou seja, o fator de compressibilidade difere de 1 em 12{,}4\%. Essa é uma diferença significativa — não é um desvio pequeno. Portanto, o metano nas condições dadas NÃO pode ser considerado um gás ideal se você precisa de precisão: o comportamento real difere visivelmente do ideal.
    • Interpretação física: Z>1 indica que, nessas condições (alta pressão relativa, 10 bar), os efeitos repulsivos ou o volume ocupado pelas moléculas fazem o volume real ser maior que o previsto pelo gás ideal.
  • Se o metano fosse considerado gás ideal, então Z=1 e, pela fórmula,
V^{R} = (Z-1)\frac{R T}{P} = 0.
Ou seja, para gás ideal o volume molar residual seria exatamente zero.

Resposta

V^{R} = \left(Z-1\right)\dfrac{R T}{P}.
V^{R} \approx 0{,}488\\ \mathrm{L/mol} = 4{,}88\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3/mol}.
Não, não pode ser considerado gás ideal (desvio de 12{,}4\% em Z); se fosse ideal, V^{R}=0.

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