Questão 5 - A posição de uma partícula que se move em um plano x y é dada por
r(t)=(t^3-5 t) imath+(6-t^2) jmath
com r em metros e t em segundos. Determine:
(a) (0,5 Ponto) A distância da partícula à origem do sistema e sua orientaçăo, em relaçăo ao semieixo positivo x , no instante de 2 segundos;
(b) (0,5 Ponto) a velocidade média v méd é entre os instantes 0 e 2 segundos;
(c) (1,0 Ponto) A velocidade e a aceleração no instante t =2,00 s;
(d) (0,5 Ponto) A direção do movimento em t=2,00 s.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição vetorial
vec r(t) = l(t^3 - 5tr)imath + l(6 - t^2r)jmath
e pede:
– distância ao ponto de referência (origem) e orientação (ângulo) em t=2,
– velocidade média entre t=0 e t=2,
– velocidade instantânea e aceleração em t=2,
– direção do movimento em t=2.
Para isso vamos usar norma de vetor para distância, arctan com correção de quadrante para o ângulo, definição de velocidade média
vec vméd = vec r(t2) - vec r(t1)t2 - t1, é
derivadas de vec r(t) para obter vec v(t) e vec a(t), e o vetor tangente unitário para a direção do movimento.

Passo 2

Para (a) avaliamos primeiro
vec r(2) = l(2^3 - 5cdot2r)imath + l(6 - 2^2r)jmath = -2,imath + 2,jmath
A distância até a origem é
|vec r(2)| = raiz(-2)^2 + 2^2 = raiz8 = 2raiz2,m
A orientação em relação ao semieixo positivo x é o ângulo phi tal que
tanphi = yx = 2-2 = -1,
mas como o ponto (-2,2) está no 2.º quadrante, phi = 180^circ - 45^circ = 135^circ.

Passo 3

Para (b) usamos
vec vméd = vec r(2) - vec r(0)2 - 0 é
Como vec r(0) = 0,imath + 6,jmath, temos
vec r(2) - vec r(0) = (-2)imath + 2,jmath - l(0,imath + 6,jmathr) = -2,imath -4,jmath,
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vec vméd = -2,imath -4,jmath2 = -1,imath -2,jmath(m/s) é

Passo 4

Para (c) calculamos as derivadas
vec v(t) = dvec rdt = l(3t^2 - 5r)imath + l(-2tr)jmath,
vec a(t) = dvec vdt = l(6tr)imath + l(-2r)jmath
Em t=2 obtemos
vec v(2) = l(3cdot4 - 5r)imath + (-4)jmath = 7,imath - 4,jmath(m/s),
vec a(2) = l(6cdot2r)imath + (-2)jmath = 12,imath - 2,jmath(m/s^2)

Passo 5

Para (d) a direção do movimento é dada pelo vetor tangente unitário
hat T(2) = vec v(2)|vec v(2)| = 7,imath - 4,jmathraiz7^2 + (-4)^2 = 7,imath - 4,jmathraiz65

Resposta

(a) 2raiz2,m, orientação 135^circ.
(b) vec vméd = -1,imath -2,jmath (m/s)é.
(c) vec v(2) = 7,imath -4,jmath (m/s), vec a(2) = 12,imath -2,jmath (m/s^2).
(d) hat T(2) = 7,imath -4,jmathraiz65.

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