A distância percorrida por um carro em função do tempo é descrita por
d(t)=100 \ln (1+t), \quad t \geq 0
onde d está em quilômetros e t em horas.
Determine a taxa instantânea de variação no instante t=2.

Passo 1

O enunciado dá a distância percorrida por um carro em função do tempo:
d(t)=100\ln(1+t),\quad t\ge 0,
onde d está em quilômetros e t em horas.
A pergunta é: determinar a taxa instantânea de variação de d no instante t=2.
Informações relevantes listadas:
\text{função: } d(t)=100\ln(1+t),\qquad \text{queremos } d'(2).çã

Passo 2

O que significa “taxa instantânea de variação”?
É a derivada da função no ponto considerado. A derivada em t=a é o limite da razão de variação média quando o intervalo tende a zero:
d'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{d(a+h)-d(a)}{h}.
Essa quantidade mede a velocidade instantânea de variação de d em torno de t=a. As unidades aqui serão quilômetros por hora ( \text{km/h}), porque d está em quilômetros e t em horas.

Passo 3

Vamos usar regras de diferenciação para calcular d'(t). Primeiro, lembrança importante: a derivada da função logarítmica básica é
\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x}\quad (x>0).
Uma maneira rápida de ver isso é colocar y=\ln x, então e^y=x. Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos e^y\frac{dy}{dx}=1, portanto \frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}.
Além disso usamos a regra da cadeia: se temos uma composição \ln(u(t)), a derivada é
\frac{d}{dt}\ln(u(t))=\frac{u'(t)}{u(t)}.
Ou seja, derivamos o “externo” (o \ln) e multiplicamos pela derivada do “interno” u(t).

Passo 4

Aplique as regras à nossa função. Tome u(t)=1+t. Então u'(t)=1. Assim
d(t)=100\ln(u(t)) \quad\Rightarrow\quad d'(t)=100\cdot\frac{u'(t)}{u(t)}.
Substituindo u(t) e u'(t):
d'(t)=100\cdot\frac{1}{1+t}=\frac{100}{1+t}.

Passo 5

Agora avaliamos em t=2:
d'(2)=\frac{100}{1+2}=\frac{100}{3}\approx 33{,}333\ldots
Unidades: \text{km/h}. Interpretação: no instante t=2 horas o carro está se deslocando com velocidade instantânea de \tfrac{100}{3}\\ \text{km/h}.

Resposta

\dfrac{100}{3}\\ \text{km/h}

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