A distância percorrida por um carro em função do tempo é descrita por
onde
está em quilômetros e
em horas.
Determine a taxa instantânea de variação no instante
.
Determine a taxa instantânea de variação no instante
Passo 1
O enunciado dá a distância percorrida por um carro em função do tempo:
onde
está em quilômetros e
em horas.
A pergunta é: determinar a taxa instantânea de variação de no instante
.
Informações relevantes listadas:
A pergunta é: determinar a taxa instantânea de variação de
Informações relevantes listadas:
Passo 2
O que significa “taxa instantânea de variação”?
É a derivada da função no ponto considerado. A derivada em é o limite da razão de variação média quando o intervalo tende a zero:
É a derivada da função no ponto considerado. A derivada em
Essa quantidade mede a velocidade instantânea de variação de
em torno de
. As unidades aqui serão quilômetros por hora (
), porque
está em quilômetros e
em horas.
Passo 3
Vamos usar regras de diferenciação para calcular
. Primeiro, lembrança importante: a derivada da função logarítmica básica é
Uma maneira rápida de ver isso é colocar
, então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
, portanto
.
Além disso usamos a regra da cadeia: se temos uma composição
, a derivada é
Ou seja, derivamos o “externo” (o
) e multiplicamos pela derivada do “interno”
.
Passo 4
Aplique as regras à nossa função. Tome
. Então
. Assim
Substituindo
e
:
Passo 5
Agora avaliamos em
:
Unidades:
. Interpretação: no instante
horas o carro está se deslocando com velocidade instantânea de
.