Questão 2

A potência média gerada por um novo modelo de turbina eólica, em condições padrão de teste, permanecia estável por vários meses, apresentando média de 515 kW e desvio padrão conhecido de 18 kW. Recentemente, a equipe de engenharia realizou um ajuste no sistema de controle da turbina. Para avaliar se houve alteração na potência média após esse ajuste, foram coletadas 10 medições nas mesmas condições operacionais:
528; 520; 533; 509; 515; 537; 524; 498; 512; 519
Considere que o desvio padrão permanece o mesmo após o ajuste. Com base nesses dados, é possível concluir que o ajuste modificou a potência média da turbina? Utilize um nível de significância de 5 \%.

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se o ajuste no sistema de controle da turbina modificou a potência média, usando nível de significância de 5\%. Informações fornecidas:
  • Potência média antes do ajuste (hipótese nula): \mu_0 = 515\\ \text{kW}.
  • Desvio padrão populacional conhecido: \sigma = 18\\ \text{kW}.
  • Tamanho da amostra: n = 10.
  • Observações coletadas (em kW): 528,\\\ 520,\\\ 533,\\\ 509,\\\ 515,\\\ 537,\\\ 524,\\\ 498,\\\ 512,\\\ 519.
    A pergunta a responder é: com nível de significância de 5\%, há evidência de que o ajuste mudou a potência média da turbina? (ou seja, teste bilateral).

Passo 2

Calcular a média amostral \overline{X}. Primeiro somar os dados e dividir por n.
\text{soma} = 528+520+533+509+515+537+524+498+512+519=5195
\overline{X}=\frac{5195}{10}=519,5\\ \text{kW}.
Interpretação rápida: a média amostral ficou 519,5\\ \text{kW}, que é 4,5\\ \text{kW} acima de 515\\ \text{kW}.

Passo 3

Formular as hipóteses e escolher o teste apropriado.
  • Hipótese nula: \displaystyle H_0:\mu = 515.
  • Hipótese alternativa (teste bilateral): \displaystyle H_1:\mu \neq 515.
    Justificativa do teste: o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, logo usamos o teste-z para média (teste baseado na distribuição normal padrão).

Passo 4

Apresentar a estatística de teste e calcular o erro padrão da média.
A estatística-z é
Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}},
onde \overline{X} é a média amostral, \mu_0 a média sob H_0, \sigma o desvio padrão populacional e n o tamanho da amostra.
Calcular o erro padrão:
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{18}{\sqrt{10}}.
Como \sqrt{10}\approx 3,162,
\sigma_{\overline{X}}\approx \frac{18}{3,162}\approx 5,692\\ \text{kW}.

Passo 5

Calcular o valor da estatística Z.
Z=\frac{519,5-515}{5,692}=\frac{4,5}{5,692}\approx 0,791.

Passo 6

Decisão usando o nível de significância \alpha=5\% (teste bilateral).
  • Região crítica (críticos): rejeitar H_0 se |Z|>z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}\approx 1{,}96.
  • Comparação: |Z|=0{,}791 < 1{,}96. Logo não rejeitamos H_0.
Cálculo aproximado do p-valor (opcional para interpretar):
\text{p-valor} = 2\left(1-\Phi(|Z|)\right).
Com |Z|\approx 0{,}791, tem-se \Phi(0{,}791)\approx 0{,}79 (valor da CDF normal padrão), então
\text{p-valor}\approx 2(1-0{,}79)\approx 0{,}42.
Isso confirma que o resultado não é estatisticamente significativo ao nível 5\%.

Passo 7

Interpretação final e motivação intuitiva: a média amostral está 4,5\\ \text{kW} acima de 515\\ \text{kW}, mas esse desvio é pequeno em relação à variabilidade esperada da média ( \sigma_{\overline{X}}\approx 5{,}69\\ \text{kW}). Portanto a diferença observada pode facilmente ocorrer por variação amostral natural; não há evidência suficiente para afirmar que o ajuste mudou a potência média.

Resposta

Não há evidências para concluir que o ajuste modificou a potência média ao nível de 5\%. Z\approx 0{,}791, p-valor \approx 0{,}42.

Exercícios relacionados