A vida útil de baterias utilizadas em drones de monitoramento ambiental pode ser modelada por uma distribuição normal, com média de 48 horas e desvio padrão de 4 horas.
Qual é a probabilidade de que a vida útil de uma bateria escolhida ao acaso esteja entre 42 horas e 55 horas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dado: a vida útil X das baterias segue uma distribuição normal com média \mu = 48 horas e desvio padrão \sigma = 4 horas.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que a vida útil de uma bateria escolhida ao acaso esteja entre 42 horas e 55 horas, isto é, calcular P(42 \le X \le 55).

Passo 2

Ideia-chave (fórmula que vamos usar) — padronização por escore- z.
Quando uma variável aleatória X tem distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma, a maneira prática de calcular probabilidades é transformar X em uma variável normal padrão Z (média 0 e desvio 1) usando a fórmula do escore- z:
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • X é a vida útil que estamos medindo (em horas);
  • \mu é a média ( 48 horas);
  • \sigma é o desvio padrão ( 4 horas);
  • Z é a variável normal padrão correspondente.
A utilidade disso é que podemos usar tabelas ou calculadora da normal padrão para obter probabilidades padronizadas.

Passo 3

Calcular os escores- z correspondentes aos limites 42 e 55.
Para X=42:
z_1 = \frac{42-48}{4} = \frac{-6}{4} = -1{,}5.
Para X=55:
z_2 = \frac{55-48}{4} = \frac{7}{4} = 1{,}75.
Portanto
P(42 \le X \le 55) = P\big(z_1 \le Z \le z_2\big) = P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}75).

Passo 4

Como obter essas probabilidades na prática (tabela ou calculadora) — propriedades da normal padrão.
Seja \Phi(a)=P(Z\le a) a função de distribuição acumulada da normal padrão. Então
P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}75)=\Phi(1{,}75)-\Phi(-1{,}5).
Usamos a simetria da normal padrão para avaliar \Phi(-1{,}5). Para qualquer a>0 vale
\Phi(-a)=1-\Phi(a).
Logo
\Phi(-1{,}5)=1-\Phi(1{,}5).

Passo 5

Ler valores na tabela da normal padrão (ou usar calculadora). Valores padrão conhecidos:
  • \Phi(1{,}75)=0{,}9599 (valor da tabela para z=1{,}75).
  • \Phi(1{,}5)=0{,}9332 (valor da tabela para z=1{,}50).
Assim
\Phi(-1{,}5)=1-\Phi(1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668.

Passo 6

Calcular a probabilidade pedida subtraindo as duas cumulativas:
P(42 \le X \le 55)=\Phi(1{,}75)-\Phi(-1{,}5)=0{,}9599-0{,}0668=0{,}8931.
Interpretação: a probabilidade é aproximadamente 0{,}8931, ou seja, cerca de 89{,}31\%. Vai que é alta — bom sinal para a bateria!

Resposta

0{,}8931 (aprox. 89{,}31\%)

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