( 2,0 pts.) Em um estudo realizado por uma empresa de engenharia de produção, foram coletadas amostras de dois tipos de materiais utilizados na produção de peças para a indústria automotiva. Os responsáveis pela pesquisa querem verificar se existe diferença significativa na resistência à tração dos dois tipos de materiais. Os testes foram feitos com amostras independentes, e o desvio padrão dos dois materiais é desconhecido e diferentes. Utilize um nível de significância de 5 \%(\alpha=0,05). A amostra 1 contém 35 peças do primeiro material, com uma média de resistência de 80 MPa e desvio padrão amostral de 8 MPa . A amostra 2 contém 40 peças do segundo material, com uma média de resistência de 76 MPa e desvio padrão amostral de 9 MPa . Realize o teste de hipóteses para verificar se a diferença média das resistências é significativa. Utilize como valor o tartico = \pm 2,000.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
  • Dados das amostras (peguei estes números do enunciado):
    • Amostra 1: n_1=35, \bar{x}_1=80 MPa, s_1=8 MPa.
    • Amostra 2: n_2=40, \bar{x}_2=76 MPa, s_2=9 MPa.
  • Nível de significância: \alpha=0,05.
  • Informação adicional: desvios padrão são desconhecidos e diferentes -> amostras independentes com variâncias possivelmente distintas.
  • Valor crítico fornecido: t_{\text{crítico}}=\pm 2,000í (usar esse valor para comparação).
O que pediram:
  • Realizar o teste de hipóteses para verificar se a diferença das médias de resistência é significativa (teste bilateral).

Passo 2

Escolha do teste e formulação das hipóteses.
  • Como as variâncias são desconhecidas e diferentes e as amostras são independentes, usamos o teste t de Welch (teste t para duas amostras com variâncias desiguais).
  • Hipóteses (teste bilateral): H_0:\\ \mu_1-\mu_2=0
H_1:\\ \mu_1-\mu_2\neq0
Onde \mu_1 e \mu_2 são as médias populacionais de resistência dos materiais 1 e 2, respectivamente.
Explicação didática da estatística de teste:
  • A estatística t no teste de Welch é dada por t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}}.Aqui:
    • \bar{x}_1-\bar{x}_2 é a diferença observada entre as médias amostrais.
    • s_1^2/n_1 e s_2^2/n_2 são as variâncias amostrais divididas pelos tamanhos amostrais; a soma dá a variância do erro da diferença das médias.
    • A raiz quadrada dá o erro padrão (standard error) da diferença das médias.
  • Para comparar com a distribuição t, precisamos também de graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch), que eu explico e calculo no próximo passo.

Passo 3

Cálculo do erro padrão e da estatística t.
Calcular cada termo:
\frac{s_1^2}{n_1}=\frac{8^2}{35}=\frac{64}{35}=1,8286\quad(\text{aprox.})
\frac{s_2^2}{n_2}=\frac{9^2}{40}=\frac{81}{40}=2,0250
Somando:
\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}=1,8286+2,0250=3,8536
Erro padrão (raiz):
\text{SE}=\sqrt{3,8536}=1,9639\quad(\text{aprox.})
Diferença das médias:
\bar{x}_1-\bar{x}_2=80-76=4
Estatística t:
t=\frac{4}{1,9639}=2,0376\approx 2,038
Interpretação até aqui: o valor observado da estatística t é aproximadamente 2,038.

Passo 4

Cálculo aproximado dos graus de liberdade (fórmula de Welch) e justificativa do uso do valor crítico.
Fórmula de Welch para graus de liberdade v:
v=\frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{s_1^4}{n_1^2(n_1-1)}+\dfrac{s_2^4}{n_2^2(n_2-1)}}
Substituindo os números (vou mostrar os passos):
\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2=(3,8536)^2=14,853
\dfrac{s_1^4}{n_1^2(n_1-1)}=\dfrac{64^2}{35^2\cdot34}=\dfrac{4096}{41650}=0,09833
\dfrac{s_2^4}{n_2^2(n_2-1)}=\dfrac{81^2}{40^2\cdot39}=\dfrac{6561}{62400}=0,10517
Somando os termos do denominador:
0,09833+0,10517=0,20350
Logo
v=\frac{14,853}{0,20350}=72,99\approx73
Portanto os graus de liberdade aproximados são v\approx73. Com isso, o valor crítico real para \alpha=0,05 (teste bilateral) seria aproximadamente t_{0,025,73}\approx1,99. No enunciado foi dado para usar t_{\text{crítico}}=\pm 2,000í, então usaremos esse valor para a decisão (eles são muito próximos).

Passo 5

Comparação com o crítico e decisão do teste.
  • Estatística calculada: t\approx 2,038.
  • Valor crítico fornecido: t_{\text{crítico}}=\pm 2,000í.
Como |t|=2,038>2,000, a região amostral cai na região de rejeição. Portanto rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,05.
Comentário adicional (didático e útil na prova):
  • Rejeitar H_0 no teste bilateral significa que há evidência estatística de que \mu_1-\mu_2\neq0, ou seja, as médias dos dois materiais são diferentes.
  • Podemos também estimar aproximadamente o p-valor: para t=2,038 com v\approx73, o p-valor bilateral é aproximadamente p\approx0,044 (menor que 0,05), o que confirma a decisão de rejeitar H_0.

Passo 6

Interpretação prática e fechamento (um empurrãozinho de ânimo).
  • Conclusão prática: existe diferença significativa na resistência à tração entre os dois materiais; a média do material 1 ( 80 MPa) é maior que a do material 2 ( 76 MPa).
  • Observação: o teste mostra diferença estatística; em prova, é bom comentar também se a diferença é relevante do ponto de vista de engenharia (aqui a diferença é de 4 MPa) — essa interpretação depende do contexto prático.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há diferença estatisticamente significativa entre as médias (a média do material 1 é maior que a do material 2).

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