( 2,0 pts.) Em um estudo realizado por uma empresa de engenharia de produção, foram coletadas amostras de dois tipos de materiais utilizados na produção de peças para a indústria automotiva. Os responsáveis pela pesquisa querem verificar se existe diferença significativa na resistência à tração dos dois tipos de materiais. Os testes foram feitos com amostras independentes, e o desvio padrão dos dois materiais é desconhecido e diferentes. Utilize um nível de significância de
. A amostra 1 contém 35 peças do primeiro material, com uma média de resistência de 80 MPa e desvio padrão amostral de 8 MPa . A amostra 2 contém 40 peças do segundo material, com uma média de resistência de 76 MPa e desvio padrão amostral de 9 MPa . Realize o teste de hipóteses para verificar se a diferença média das resistências é significativa. Utilize como valor o tartico
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
- Dados das amostras (peguei estes números do enunciado):
- Amostra 1:
, MPa, MPa. - Amostra 2:
, MPa, MPa.
- Amostra 1:
- Nível de significância:
. - Informação adicional: desvios padrão são desconhecidos e diferentes -> amostras independentes com variâncias possivelmente distintas.
- Valor crítico fornecido:
(usar esse valor para comparação).
O que pediram:
- Realizar o teste de hipóteses para verificar se a diferença das médias de resistência é significativa (teste bilateral).
Passo 2
Escolha do teste e formulação das hipóteses.
- Como as variâncias são desconhecidas e diferentes e as amostras são independentes, usamos o teste t de Welch (teste t para duas amostras com variâncias desiguais).
- Hipóteses (teste bilateral):
Onde
e
são as médias populacionais de resistência dos materiais 1 e 2, respectivamente.
Explicação didática da estatística de teste:
- A estatística
no teste de Welch é dada por Aqui: -
é a diferença observada entre as médias amostrais. -
e são as variâncias amostrais divididas pelos tamanhos amostrais; a soma dá a variância do erro da diferença das médias. - A raiz quadrada dá o erro padrão (standard error) da diferença das médias.
-
- Para comparar com a distribuição
, precisamos também de graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch), que eu explico e calculo no próximo passo.
Passo 3
Cálculo do erro padrão e da estatística
.
Calcular cada termo:
Somando:
Erro padrão (raiz):
Diferença das médias:
Estatística
:
Interpretação até aqui: o valor observado da estatística
é aproximadamente
.
Passo 4
Cálculo aproximado dos graus de liberdade (fórmula de Welch) e justificativa do uso do valor crítico.
Fórmula de Welch para graus de liberdade
:
Substituindo os números (vou mostrar os passos):
Somando os termos do denominador:
Logo
Portanto os graus de liberdade aproximados são
. Com isso, o valor crítico real para
(teste bilateral) seria aproximadamente
. No enunciado foi dado para usar
, então usaremos esse valor para a decisão (eles são muito próximos).
Passo 5
Comparação com o crítico e decisão do teste.
- Estatística calculada:
. - Valor crítico fornecido:
.
Como
, a região amostral cai na região de rejeição. Portanto rejeitamos
ao nível
.
Comentário adicional (didático e útil na prova):
- Rejeitar
no teste bilateral significa que há evidência estatística de que , ou seja, as médias dos dois materiais são diferentes. - Podemos também estimar aproximadamente o p-valor: para
com , o p-valor bilateral é aproximadamente (menor que ), o que confirma a decisão de rejeitar .
Passo 6
Interpretação prática e fechamento (um empurrãozinho de ânimo).
- Conclusão prática: existe diferença significativa na resistência à tração entre os dois materiais; a média do material 1 (
MPa) é maior que a do material 2 ( MPa). - Observação: o teste mostra diferença estatística; em prova, é bom comentar também se a diferença é relevante do ponto de vista de engenharia (aqui a diferença é de
MPa) — essa interpretação depende do contexto prático.
Resposta
Rejeita-se
. Há diferença estatisticamente significativa entre as médias (a média do material 1 é maior que a do material 2).