Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos itens abaixo. Se elas não estiverem satisfeitas, decida se a conclusão do Teorema ainda vale.
f(x)=lx^2, se x >= 1 2 x, se x<1 ,[a, b]=[0,4]

Passo 1

O enunciado define
f(x)= x^2,&x>=1, 2x,&x<1, [a,b]=[0,4],
e pede para verificar as hipóteses do Teorema do Valor Médio (TVM):
  1. continuidade em [0,4],
  2. derivabilidade em (0,4).

Passo 2

Verificamos continuidade em x=1, o possível ponto crítico:
f(1^-)=limxto1^-2x=2,
f(1^+)=limxto1^+x^2=1,
mas f(1)=1^2=1. Como f(1^-)neq f(1^+), f não é contínua em x=1.

Passo 3

Logo, a hipótese de continuidade em [0,4] falha, e portanto a de derivabilidade em (0,4) também não se cumpre (nem existe derivada em x=1).

Passo 4

Mesmo sem as hipóteses do TVM, calculemos a inclinação da reta secante de a=0 até b=4:
f(0)=2cdot0=0, f(4)=4^2=16,
f(4)-f(0)4-0=16-04=4

Passo 5

Agora vemos se existe cin(0,4) tal que f'(c)=4. Em cada ramo:
  • Para x<1, f'(x)=2, nunca atinge 4.
  • Para x>1, f'(x)=2x. Resolver
2x=4Longrightarrow x=2in(1,4)
Logo c=2 satisfaz f'(c)=4.

Resposta

As hipóteses de continuidade e derivabilidade do TVM não se cumprem em x=1, mas ainda assim a conclusão do Teorema vale: existe c=2 em (0,4) tal que
f'(2)=4=f(4)-f(0)4-0

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