Questão 2 (Princípio da Incerteza - 2,0 pontos)

A velocidade de um elétron é medida em um laboratório, e os componentes de sua velocidade são:
  • v_{x}=(5,00 \pm 0,20) \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
  • v_{y}=(0,50 \pm 0,15) \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
  • v_{z}=(2,00 \pm 0,10) \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Com base no Princípio da Incerteza de Heisenberg, determine o volume mínimo no qual o elétron poderia ser localizado no instante em que essa medição de velocidade foi realizada.

Passo 1

O enunciado fornece as componentes da velocidade de um elétron com suas incertezas:
\displaystyle v_x=(5,00\pm0,20)\times10^{5}\,\mathrm{m/s},
\displaystyle v_y=(0,50\pm0,15)\times10^{5}\,\mathrm{m/s} e
\displaystyle v_z=(2,00\pm0,10)\times10^{5}\,\mathrm{m/s}.
Queremos usar o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que relaciona a incerteza de posição e de momento, para encontrar o volume mínimo \Delta V onde o elétron pode estar.

Passo 2

O Princípio da Incerteza na forma unidimensional é
\Delta x\,\Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2},
onde \Delta p_x = m\,\Delta v_x. Para cada direção i=x,y,z temos
\Delta x_i \ge \frac{\hbar}{2\,m\,\Delta v_i}.
Aqui usamos \hbar=1{,}055\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s} e m_e=9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}.

Passo 3

Calculamos as incertezas de posição em cada eixo:
\Delta x = \frac{1{,}055\times10^{-34}}{2 \cdot 9{,}11\times10^{-31}\cdot 0{,}20\times10^{5}} \approx 2{,}9\times10^{-9}\,\mathrm{m},
\Delta y = \frac{1{,}055\times10^{-34}}{2 \cdot 9{,}11\times10^{-31}\cdot 0{,}15\times10^{5}} \approx 3{,}9\times10^{-9}\,\mathrm{m},
\Delta z = \frac{1{,}055\times10^{-34}}{2 \cdot 9{,}11\times10^{-31}\cdot 0{,}10\times10^{5}} \approx 5{,}8\times10^{-9}\,\mathrm{m}.

Passo 4

O volume mínimo é dado por
\Delta V \approx \Delta x\,\Delta y\,\Delta z \approx (2{,}9\times10^{-9})(3{,}9\times10^{-9})(5{,}8\times10^{-9})\,\mathrm{m^3}.
Fazendo o produto numérico, obtemos
\Delta V \approx 6{,}5\times10^{-26}\,\mathrm{m^3}.

Resposta

O volume mínimo de localização do elétron é aproximadamente
6{,}5\times10^{-26}\,\mathrm{m^3}.

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