Questão 4 (Níveis de Energia - 2,0 pontos)

Um elétron com energia cinética de 15 eV colide com um átomo de hidrogênio que está em seu estado fundamental (n=1). Após a colisão, o átomo de hidrogênio é excitado para um nível de energia superior.
a) Determine o número quântico n do estado excitado para o qual o átomo de hidrogênio foi levado.
b) O átomo excitado eventualmente decai de volta para o estado fundamental. Qual é o comprimento de onda do fóton emitido durante esse decaimento?

Passo 1

O enunciado diz que um elétron com energia cinética de 15\,\mathrm{eV} colide com um átomo de hidrogênio no estado fundamental (n=1) e o excita para algum nível n>1. Pelo modelo de Bohr, a energia do nível n é
E_n = -\frac{13,6\,\mathrm{eV}}{n^2},
então a energia necessária para ir de n=1 a n é
\Delta E = E_n - E_1.

Passo 2

Calculamos
\Delta E = E_n - E_1 = -\frac{13,6}{n^2} - \bigl(-13,6\bigr) = 13,6\Bigl(1 - \frac{1}{n^2}\Bigr)\,\mathrm{eV}.

Passo 3

Se todo o elétron transferisse os 15,eV para o átomo, teríamos
13,6\Bigl(1 - \frac{1}{n^2}\Bigr) = 15 \quad\Longrightarrow\quad 1 - \frac{1}{n^2} = \frac{15}{13,6} \approx 1,1029,
o que não admite solução em n\in\mathbb{N}, pois o lado direito é maior que 1.

Passo 4

A energia máxima que pode ser absorvida para subir a qualquer nível ligado é a energia de ionização \Delta E_{\infty}=13,6,eV. Como 15>13,6,eV, o elétron tem energia suficiente para ionizar o átomo em vez de excitá-lo a um estado ligado.

Resposta

a) Não há nível ligado n que corresponda a uma absorção de 15,eV; o átomo é ionizado.
b) Como não ocorre decaimento de um estado ligado, não há emissão de fóton.

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