Questão 5. [Princípio da superposição] Sejam y1(t) e y2(t) soluções da equação diferencial
y^prime prime+p(t) y prime+q(t) y=0
Mostre que y(t)=c1 y1(t)+c2 y2(t) é solução da equação (0.1) para quaisquer constantes c1, c2 in R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o Princípio da Superposição, que qualquer combinação linear de soluções de uma EDO linear homogênea de segunda ordem também é solução. O conteúdo aqui é EDOs lineares homogêneas e vamos precisar usar a linearidade do operador diferencial.

Passo 2

Definimos a combinação linear
y(t)=c1y1(t)+c2y2(t),
e calculamos suas derivadas usando a linearidade:
y'(t)=c1y1'(t)+c2y2'(t),
y''(t)=c1y1''(t)+c2y2''(t)

Passo 3

Substituímos essas expressões na equação
y''+p(t)y'+q(t)y=0
Isso gera
c1l(y1''+p(t)y1'+q(t)y1r)+c2l(y2''+p(t)y2'+q(t)y2r)=0

Passo 4

Como por hipótese y1 e y2 satisfazem a EDO, temos
y1''+p(t)y1'+q(t)y1=0 enquanto y2''+p(t)y2'+q(t)y2=0
Logo cada termo entre parênteses é zero, e assim a combinação linear também satisfaz a EDO.

Passo 5

Assim concluímos que
y(t)=c1y1(t)+c2y2(t)
é de fato solução da equação diferencial dada para quaisquer constantes c1,c2inR.

Resposta

A combinação linear satisfa z a equação pois a linearidade do operador diferencial leva à soma de equações nulas, logo y(t)=c1y1(t)+c2y2(t) é solução.

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