Questão 5. [Princípio da superposição] Sejam
e
soluções da equação diferencial
Mostre que
é solução da equação (0.1) para quaisquer constantes
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando o Princípio da Superposição, que qualquer combinação linear de soluções de uma EDO linear homogênea de segunda ordem também é solução. O conteúdo aqui é EDOs lineares homogêneas e vamos precisar usar a linearidade do operador diferencial.
Passo 2
Definimos a combinação linear
e calculamos suas derivadas usando a linearidade:
Passo 3
Substituímos essas expressões na equação
Isso gera
Passo 4
Como por hipótese
e
satisfazem a EDO, temos
Logo cada termo entre parênteses é zero, e assim a combinação linear também satisfaz a EDO.
Passo 5
Assim concluímos que
é de fato solução da equação diferencial dada para quaisquer constantes
.
Resposta
A combinação linear satisfa z a equação pois a linearidade do operador diferencial leva à soma de equações nulas, logo
é solução.