Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando t infty:
ly^prime prime+4 y=0 y(0)=0 ; y^prime(0)=1

Passo 1

Resumo do enunciado: Resolver o problema de valor inicial y'' + 4y = 0 com condições y(0)=0 e y'(0)=1, aplicando teoria de equações diferenciais lineares de segunda ordem e, ao final, analisar o comportamento quando t to infty.

Passo 2

Para resolver equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, montamos a equação característica associada:
r^2 + 4 = 0
Resolvendo-a, obtemos as raízes complexas r = pm 2i, indicando que a solução geral será uma combinação de funções seno e cosseno.

Passo 3

A partir das raízes puramente imaginárias pm 2i, a solução geral é dada por
y(t) = C1 cos(2t) + C2 sin(2t)
Isso vem da teoria de que, para raízes alpha pm ibeta, usamos e^alpha t(Acos(beta t)+Bsin(beta t)), e aqui alpha=0, beta=2.

Passo 4

Diferenciando
y'(t) = -2 C1 sin(2t) + 2 C2 cos(2t)
e aplicando as condições iniciais em t=0: como sin(0)=0 e cos(0)=1, ficamos com y(0)=C1=0 e y'(0)=2C2=1, logo C2=tfrac12.

Passo 5

Substituindo C1=0 e C2=tfrac12 na solução geral, chegamos em
y(t) = tfrac12 sin(2t)
Para t to infty, essa função é periódica e limitada entre -tfrac12 e tfrac12, ou seja, oscila e não converge para um único valor.

Resposta

A solução é y(t)=tfrac12sin(2t), que é periódica limitada e oscila entre -tfrac12 e tfrac12, não convergindo quando ttoinfty.

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