Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando
:
Passo 1
O problema é uma equação diferencial ordinária linear de 2ª ordem homogênea com coeficientes constantes: temos que resolver
sujeito às condições iniciais
e
. Para resolver, vamos usar a equação característica.
Passo 2
Formamos a equação característica associada:
Calculamos o discriminante
, logo as raízes são complexas:
Passo 3
Como as raízes são
, a solução geral é da forma
Passo 4
Para determinar
e
, derivamos:
Em
:
-
. -
⇒ .
Passo 5
Substituindo as constantes, obtemos
Como há o fator exponencial
, quando
temos
, logo
.
Resposta
A solução é
, e ela tende a 0 quando
.