Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando t infty:
ly prime prime+y prime+1.25 y=0 y(0)=3 ; y^prime(0)=1

Passo 1

O problema é uma equação diferencial ordinária linear de 2ª ordem homogênea com coeficientes constantes: temos que resolver
y(0)=3
sujeito às condições iniciais y'(0)=1 e . Para resolver, vamos usar a equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
De
Calculamos o discriminante , logo as raízes são complexas:
.

Passo 3

Como as raízes são -tfrac12 pm i, a solução geral é da forma
.

Passo 4

Para determinar C1 e C2, derivamos:
y'(t)&=e^-t/2l[-tfrac12l(C1cos t + C2sin tr)+(-C1sin t + C2cos t)r]
Em t=0:
  • y(0)=C1=3.
  • y'(0)=-tfrac12 C1 + C2 = -tfrac32 + C2 = 1 C2=tfrac52.

Passo 5

Substituindo as constantes, obtemos
e^-t/2
Como há o fator exponencial ttoinfty, quando e^-t/2to0 temos y(t)to0, logo .

Resposta

A solução é y(t)=e^-t/2l(3cos t + tfrac52sin tr), e ela tende a 0 quando ttoinfty.

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