Questão 7 (Raios de Curvatura e Geometria do Elipsoide)
Dada a latitude de um ponto de interesse \varphi=-24^{\circ} 00^{\prime} 00^{\prime \prime} (próximo a Pato Branco):
Determine o Raio Médio de Gauss \left(R_{G}=\sqrt{M * N}\right).

Passo 1

O enunciado dá a latitude do ponto de interesse e pede o Raio Médio de Gauss \displaystyle R_{G}=\sqrt{M\cdot N}.
Informações fornecidas:
  • Latitude: \varphi=-24^{\circ}00'00''.
Informação necessária que não foi explicitada no enunciado (assumo um elipsoide de referência padrão):
  • Usarei os parâmetros do elipsoide GRS80 (usado em SIRGAS/SGB; é praticamente idêntico ao WGS84 no que interessa aqui):
    • semi-eixo maior: \displaystyle a = 6378137{,}0\\ \text{m},
    • achatamento: \displaystyle f = \dfrac{1}{298{,}257222101}.
Observação: se o seu professor usou outro elipsoide (por exemplo WGS84), o resultado muda muito pouco; os passos seguem iguais.

Passo 2

Vou explicar as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas das grandezas envolvidas).
  • O parâmetro de excentricidade (ao quadrado) do elipsoide relaciona a e f. A excentricidade ao quadrado é
e^{2}=2f-f^{2}.
Aqui \,a é o semi-eixo maior (raio equatorial) e f é o achatamento do elipsoide. O valor e^{2} mede o quão “achatado” é o elipsoide.
  • O raio de curvatura no primeiro vertical (ou raio normal ao elipsoide, chamado de N) em latitude \varphi é
N(\varphi)=\frac{a}{\sqrt{1-e^{2}\sin^{2}\varphi}}.
Esse N é o raio da esfera que melhor aproxima o elipsoide na direção leste–oeste naquele ponto.
  • O raio de curvatura no meridiano (chamado de M) é
M(\varphi)=\frac{a(1-e^{2})}{\bigl(1-e^{2}\sin^{2}\varphi\bigr)^{3/2}}.
Esse M é o raio que descreve a curvatura na direção norte–sul naquele ponto.
  • O Raio Médio de Gauss é a média geométrica desses dois raios:
R_{G}=\sqrt{M\cdot N}.
Agora vamos calcular passo a passo os números.

Passo 3

Calcular f e e^{2}.
f=\frac{1}{298{,}257222101}\approx 0{,}003352810681182319.
e^{2}=2f-f^{2}=2\cdot 0{,}003352810681182319 - (0{,}003352810681182319)^{2}.
Fazendo a conta (arredondando adequadamente):
e^{2}\approx 0{,}00669438002290.

Passo 4

Converter a latitude para forma numérica e calcular \sin\varphi.
A latitude dada é \varphi=-24^{\circ}00'00'', isto é
\varphi=-24^\circ.
Como as fórmulas usam \sin^{2}\varphi, o sinal não importa para o quadrado; usarei \varphi=24^\circ para calcular seno:
\sin(24^\circ)\approx 0{,}4067366430758002, \qquad \sin^{2}(24^\circ)\approx 0{,}16543478.

Passo 5

Calcular 1-e^{2}\sin^{2}\varphi e sua raiz:
e^{2}\sin^{2}\varphi \approx 0{,}00669438002290\cdot 0{,}16543478 \approx 0{,}001106945.
1-e^{2}\sin^{2}\varphi \approx 0{,}998893055.
\sqrt{1-e^{2}\sin^{2}\varphi}\approx 0{,}999446431.

Passo 6

Calcular N usando a fórmula e os números obtidos:
N=\frac{a}{\sqrt{1-e^{2}\sin^{2}\varphi}} =\frac{6378137{,}0}{0{,}999446431} \approx 6381668{,}11\\ \text{m}.
Explanação rápida: dividir por um número ligeiramente menor que 1 aumenta um pouco o valor de a, por isso N é pouco maior que a.

Passo 7

Calcular M:
Primeiro 1-e^{2}:
1-e^{2}\approx 0{,}9933056199771.
Denominador de M: (1-e^{2}\sin^{2}\varphi)^{3/2}=(1-e^{2}\sin^{2}\varphi)\cdot\sqrt{1-e^{2}\sin^{2}\varphi}.
Usando os valores:
(1-e^{2}\sin^{2}\varphi)^{3/2}\approx 0{,}998893055\cdot 0{,}999446431 \approx 0{,}99834025.
Agora
M=\frac{a(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin^{2}\varphi)^{3/2}} =\frac{6378137{,}0\cdot 0{,}9933056199771}{0{,}99834025} \approx 6346001{,}7\\ \text{m}.
Breve interpretação: M é também da ordem de 6{,}3\times 10^{6}\\ \text{m}, ligeiramente menor que N para latitudes médias (dependendo da latitude).

Passo 8

Calcular o Raio Médio de Gauss:
R_{G}=\sqrt{M\cdot N}.
Usando os valores numéricos:
M\approx 6\,346\,001{,}7\\ \text{m},\qquad N\approx 6\,381\,668{,}11\\ \text{m}.
Calcular a média geométrica. Uma forma numérica estável é usar
R_{G}=\sqrt{M\cdot N} =\sqrt{\biggl(\frac{M+N}{2}\biggr)^{2}-\biggl(\frac{N-M}{2}\biggr)^{2}}
para reduzir erros de arredondamento. Com
\frac{M+N}{2}\approx 6\,363\,835{,}9,\qquad \frac{N-M}{2}\approx 17\,833{,}2,
temos, por aproximação binomial,
R_{G}\approx 6\,363\,835{,}9 - \frac{(17\,833{,}2)^{2}}{2\cdot 6\,363\,835{,}9} \approx 6\,363\,810{,}0\\ \text{m}.
Assim, o Raio Médio de Gauss naquele ponto é aproximadamente 6{,}363{,}810\\ \text{m}.

Resposta

R_{G}\approx 6\,363\,810{,}0\\ \text{m}

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