Questão 7 (Raios de Curvatura e Geometria do Elipsoide)
Dada a latitude de um ponto de interesse
(próximo a Pato Branco):
Determine o Raio Médio de Gauss
.
Determine o Raio Médio de Gauss
Passo 1
O enunciado dá a latitude do ponto de interesse e pede o Raio Médio de Gauss
.
Informações fornecidas:
- Latitude:
.
Informação necessária que não foi explicitada no enunciado (assumo um elipsoide de referência padrão):
- Usarei os parâmetros do elipsoide GRS80 (usado em SIRGAS/SGB; é praticamente idêntico ao WGS84 no que interessa aqui):
- semi-eixo maior:
, - achatamento:
.
- semi-eixo maior:
Observação: se o seu professor usou outro elipsoide (por exemplo WGS84), o resultado muda muito pouco; os passos seguem iguais.
Passo 2
Vou explicar as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas das grandezas envolvidas).
- O parâmetro de excentricidade (ao quadrado) do elipsoide relaciona
e . A excentricidade ao quadrado é
Aqui
é o semi-eixo maior (raio equatorial) e
é o achatamento do elipsoide. O valor
mede o quão “achatado” é o elipsoide.
- O raio de curvatura no primeiro vertical (ou raio normal ao elipsoide, chamado de
) em latitude é
Esse
é o raio da esfera que melhor aproxima o elipsoide na direção leste–oeste naquele ponto.
- O raio de curvatura no meridiano (chamado de
) é
Esse
é o raio que descreve a curvatura na direção norte–sul naquele ponto.
- O Raio Médio de Gauss é a média geométrica desses dois raios:
Agora vamos calcular passo a passo os números.
Passo 3
Calcular
e
.
Fazendo a conta (arredondando adequadamente):
Passo 4
Converter a latitude para forma numérica e calcular
.
A latitude dada é
, isto é
Como as fórmulas usam
, o sinal não importa para o quadrado; usarei
para calcular seno:
Passo 5
Calcular
e sua raiz:
Passo 6
Calcular
usando a fórmula e os números obtidos:
Explanação rápida: dividir por um número ligeiramente menor que
aumenta um pouco o valor de
, por isso
é pouco maior que
.
Passo 7
Calcular
:
Primeiro
:
Denominador de
:
.
Usando os valores:
Usando os valores:
Agora
Breve interpretação:
é também da ordem de
, ligeiramente menor que
para latitudes médias (dependendo da latitude).
Passo 8
Calcular o Raio Médio de Gauss:
Usando os valores numéricos:
Calcular a média geométrica. Uma forma numérica estável é usar
para reduzir erros de arredondamento. Com
temos, por aproximação binomial,
Assim, o Raio Médio de Gauss naquele ponto é aproximadamente
.