Questão 1. Nos problemas abaixo indique o intervalo que contém a condição inicial no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs lineares de 1a ordem são verdadeiras:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o intervalo que contém a condição inicial onde as hipóteses do teorema de existência e unicidade para equações diferenciais ordinárias (EDOs) lineares de primeira ordem são válidas. Isso significa que precisamos identificar onde as funções envolvidas na EDO são contínuas para garantir que exista uma solução única.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções na nossa EDO. A equação dada é:
Aqui, podemos ver que:
- $ p(t) = \tan(t) $
- $ g(t) = \sin(t) $
Essas são as funções que precisamos analisar para ver onde são contínuas.
Passo 3
O teorema de existência e unicidade diz que se $ p(t) $ e $ g(t) $ são contínuas em um intervalo que contém o ponto inicial $ t_0 $, então existe uma solução única nesse intervalo. Portanto, precisamos descobrir onde $ \tan(t) $ e $ \sin(t) $ são contínuas ao redor de $ t = \pi $.
Passo 4
Vamos começar com $ \sin(t) $. Essa função é contínua para todos os valores de $ t $, então não temos problemas por aqui.
Agora, vamos olhar para $ \tan(t) $. Sabemos que $ \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} $, e essa função é descontínua onde $ \cos(t) = 0 $, ou seja, em $ t = \frac{\pi}{2} + k\pi $, onde $ k $ é qualquer inteiro.
Passo 5
Como a condição inicial é $ y(\pi) = 0 $, queremos um intervalo que contenha $ t = \pi $ e onde $ \tan(t) $ seja contínua. Sabemos que $ \tan(t) $ tem descontinuidades em $ \frac{\pi}{2} $ e $ \frac{3\pi}{2} $ próximo de $ \pi $.
Passo 6
Portanto, o maior intervalo contínuo que contém $ t = \pi $ e não inclui essas descontinuidades é entre $ \frac{\pi}{2} $ e $ \frac{3\pi}{2} $. Ou seja:
Resposta
O intervalo que contém a condição inicial onde as hipóteses do teorema de existência e unicidade são verdadeiras é $ \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right) $.