Questão 7: PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO E AUTOVALORES E AUTOVETORES: Uma forma de calcular o maior autovetor de uma matriz boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times n} simétrica, i.e., boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^{T}, consiste em resolver o problema de otimizaçāo: \max \boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A x} s.a \|\boldsymbol{x}\|=1. Um autovalor \alpha é o escalar que satisfaz, a equação \boldsymbol{A v}=\alpha v com \mathbb{R}^{n} \ni v \neq \mathbf{0} chamado de autovetor de A. Usamos a notação \alpha_{\text {max }}:=\max \{\alpha: A v=\alpha v\}(A:=B significa que A (parâmetro novo) é definida por B (pressuposto)).
Mostre que se
A=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right)
temos \alpha_{\text {max }}=1.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
e pede para mostrar que o maior autovalor (denotado \alpha_{\text{max}}) vale 1.
Informações e pedidos extraídos:
  • A matriz \boldsymbol{A} é simétrica (isto é, \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^T).
  • Definição: um autovalor \alpha e um autovetor v\neq\mathbf{0} satisfazem \boldsymbol{A}v=\alpha v.
  • Quer-se determinar \alpha_{\text{max}}=\max\{\alpha:\\ \boldsymbol{A}v=\alpha v\}.
  • Além disso, o enunciado lembra a formulação de otimização: maximizar \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} sujeito a \|\boldsymbol{x}\|=1. (Essa formulação está relacionada com os autovalores.)]

Passo 2

Por que a otimização e autovalores estão relacionadas (aula rápida e intuitiva).
  • Para qualquer vetor \boldsymbol{x}\neq\mathbf{0} define-se o quociente de Rayleigh
R(\boldsymbol{x})=\frac{\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}}.
  • Se restringimos a \|\boldsymbol{x}\|=1 (ou seja \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}=1), a quantidade a maximizar é simplesmente \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=R(\boldsymbol{x}).
  • Teorema útil (explicação curta): se \boldsymbol{A} é simétrica, os extremos (máximo e mínimo) de R(\boldsymbol{x}) sobre a esfera \|\boldsymbol{x}\|=1 são autovalores de \boldsymbol{A}, e são atingidos por autovetores unitários correspondentes. Vou mostrar isso agora usando multiplicadores de Lagrange (passo a passo).

Passo 3

Aplicando multiplicadores de Lagrange ao problema \max \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} s.a. \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}=1.
  • Defina a lagrangiana
\mathcal{L}(\boldsymbol{x},\mu)=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}-\mu\bigl(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}-1\bigr),
onde \mu é o multiplicador.
  • Derivada (gradiente) em \boldsymbol{x}: preciso do gradiente da forma quadrática \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}. Para \boldsymbol{A} simétrica vale
\nabla_{\boldsymbol{x}}\bigl(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\bigr)=2\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}.
(Explicação: escrevendo componentes e derivando ou usando regra geral para formas quadráticas simétricas.)
  • Portanto a condição de estacionaridade \nabla_{\boldsymbol{x}}\mathcal{L}=0
2\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}-2\mu\boldsymbol{x}=\mathbf{0}\quad\Longrightarrow\quad \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\mu\boldsymbol{x}.
  • Conclusão dessa etapa: qualquer ponto candidato a máximo/minimo é autovetor de \boldsymbol{A}, com \mu sendo o autovalor associado. Além disso, para um autovetor unitário v associado a autovalor \alpha tem-se \boldsymbol{v}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}=\alpha, então os extremos de \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} sobre a esfera coincidem com autovalores.

Passo 4

Agora calculamos explicitamente os autovalores de \boldsymbol{A}.
  • Escrevemos o polinômio característico \det(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}):
\det\!\left(\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix}\right)=(-\lambda)(-\lambda)-1\cdot1=\lambda^2-1.
  • As raízes do polinômio \lambda^2-1=0 são
\lambda=\pm 1.
Logo os autovalores da matriz são 1 e -1.]

Passo 5

Encontre os autovetores associados (para consolidar a intuição).
  • Para \lambda=1 resolver (\boldsymbol{A}-\boldsymbol{I})v=\mathbf{0}, isto é
\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Isso dá -v_1+v_2=0, ou seja v_1=v_2. Portanto um autovetor associado é v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Para \lambda=-1 resolver (\boldsymbol{A}+ \boldsymbol{I})v=\mathbf{0}, isto é
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix},
que dá v_1=-v_2. Um autovetor associado é v^{(-1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
  • Normalizando o autovetor de \lambda=1 (para usá-lo na esfera unitária): tome
\boldsymbol{u}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},
que tem norma 1.]

Passo 6

Verificação direta do valor de \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} no autovetor normalizado.
  • Calcule
\boldsymbol{u}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}\right) \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right).
  • Primeiro \boldsymbol{A}\boldsymbol{u}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\boldsymbol{u} (porque \boldsymbol{u} é autovetor com autovalor 1). Então
\boldsymbol{u}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}^T\boldsymbol{u}=1.
  • Pelo item dos multiplicadores de Lagrange, esse valor é exatamente o autovalor associado, confirmando o que achamos: o valor correspondente é 1.]

Passo 7

Uma verificação alternativa e bem simples (opcional, intuitiva) usando parametrização da esfera em \mathbb{R}^2.
  • Tome \boldsymbol{x}=(\cos\theta,\sin\theta)^T com \theta\in\mathbb{R} (então \|\boldsymbol{x}\|=1).
  • Calcule a forma quadrática:
\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=(\cos\theta,\sin\theta)\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta\\[4pt]\sin\theta\end{pmatrix}=2\cos\theta\sin\theta=\sin(2\theta).
  • O máximo de \sin(2\theta) é 1, atingido quando 2\theta=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi, por exemplo \theta=\tfrac{\pi}{4}, que corresponde ao vetor proporcional a (1,1)^T. Isso confirma de maneira direta que o máximo possível de \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} sobre a esfera é 1.]

Passo 8

Resumo do raciocínio (rápido e motivador):
  • Encontramos os autovalores \pm 1.
  • Pelo caráter variacional (Lagrange / Rayleigh), o máximo de \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} na esfera é o maior autovalor.
  • Assim o maior autovalor é 1. (O autovetor unitário correspondente é \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^T.)

Resposta

1

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