Questão 7: PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO E AUTOVALORES E AUTOVETORES: Uma forma de calcular o maior autovetor de uma matriz boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times n} simétrica, i.e., boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^{T}, consiste em resolver o problema de otimizaçāo: \max \boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A x} s.a \|\boldsymbol{x}\|=1. Um autovalor \alpha é o escalar que satisfaz, a equação \boldsymbol{A v}=\alpha v com \mathbb{R}^{n} \ni v \neq \mathbf{0} chamado de autovetor de A. Usamos a notação \alpha_{\text {max }}:=\max \{\alpha: A v=\alpha v\}(A:=B significa que A (parâmetro novo) é definida por B (pressuposto)).
Mostre que se
Além disso, o enunciado lembra a formulação de otimização: maximizar \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} sujeito a \|\boldsymbol{x}\|=1. (Essa formulação está relacionada com os autovalores.)]
Passo 2
Por que a otimização e autovalores estão relacionadas (aula rápida e intuitiva).
Para qualquer vetor \boldsymbol{x}\neq\mathbf{0} define-se o quociente de Rayleigh
Se restringimos a \|\boldsymbol{x}\|=1 (ou seja \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}=1), a quantidade a maximizar é simplesmente \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=R(\boldsymbol{x}).
Teorema útil (explicação curta): se \boldsymbol{A} é simétrica, os extremos (máximo e mínimo) de R(\boldsymbol{x}) sobre a esfera \|\boldsymbol{x}\|=1 são autovalores de \boldsymbol{A}, e são atingidos por autovetores unitários correspondentes. Vou mostrar isso agora usando multiplicadores de Lagrange (passo a passo).
Passo 3
Aplicando multiplicadores de Lagrange ao problema \max \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} s.a. \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}=1.
Derivada (gradiente) em \boldsymbol{x}: preciso do gradiente da forma quadrática \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}. Para \boldsymbol{A} simétrica vale
Conclusão dessa etapa: qualquer ponto candidato a máximo/minimo é autovetor de \boldsymbol{A}, com \mu sendo o autovalor associado. Além disso, para um autovetor unitário v associado a autovalor \alpha tem-se \boldsymbol{v}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}=\alpha, então os extremos de \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} sobre a esfera coincidem com autovalores.
Passo 4
Agora calculamos explicitamente os autovalores de \boldsymbol{A}.
Escrevemos o polinômio característico \det(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}):
Primeiro \boldsymbol{A}\boldsymbol{u}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\boldsymbol{u} (porque \boldsymbol{u} é autovetor com autovalor 1). Então
O máximo de \sin(2\theta) é 1, atingido quando 2\theta=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi, por exemplo \theta=\tfrac{\pi}{4}, que corresponde ao vetor proporcional a (1,1)^T. Isso confirma de maneira direta que o máximo possível de \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} sobre a esfera é 1.]
Passo 8
Resumo do raciocínio (rápido e motivador):
Encontramos os autovalores \pm 1.
Pelo caráter variacional (Lagrange / Rayleigh), o máximo de \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} na esfera é o maior autovalor.
Assim o maior autovalor é 1. (O autovetor unitário correspondente é \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^T.)