Questão 1: Produtos Notáveis
Resolva os itens abaixo:
Expanda e simplifique:
Expanda e simplifique:
Passo 1
O enunciado pede para expandir e simplificar a expressão
Informações dadas: a expressão é um quadrado de um binómio, ou seja, um termo na forma
. O objetivo final é escrever essa expressão como um polinômio em
, sem parênteses e com termos semelhantes somados.
Passo 2
Vamos deduzir a fórmula que usamos para expandir um quadrado de binômio. Se tivermos dois símbolos quaisquer
e
, então
Multiplicando usando a propriedade distributiva (FOIL: primeiro, exterior, interior, último),
Como
e
são iguais, juntamos os dois termos do meio e obtemos a identidade clássica
Explicando devagar:
vem de multiplicar os primeiros termos;
vem da soma dos dois produtos cruzados (cada um é
);
é o produto dos últimos termos.
Passo 3
Agora aplicamos essa fórmula à nossa expressão. Identificamos
Substituindo na fórmula
teremos os três termos que precisamos calcular separadamente.
Passo 4
Calculemos
. Como
,
Para elevar um produto ao quadrado, elevamos cada fator ao quadrado:
Portanto, o primeiro termo é
.
Passo 5
Calculemos o termo médio
. Substituindo
e
,
Multiplicando em etapas:
e
. Então o termo do meio é
.
Passo 6
Calculemos
. Como
,
Esse é o termo constante.
Passo 7
Agora juntamos os três termos obtidos:
,
e
. Somando-os (e lembrando de combinar termos semelhantes — aqui não há mais combinações a fazer) obtemos a forma expandida:
Como checagem rápida: se
, a expressão original vale
e a expandida dá
, então bate certinho.