Questão 1: Produtos Notáveis
Resolva os itens abaixo:
Expanda e simplifique:
(2 x-5)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para expandir e simplificar a expressão
(2x-5)^{2}.
Informações dadas: a expressão é um quadrado de um binómio, ou seja, um termo na forma (\text{algo} - \text{algo})^{2}. O objetivo final é escrever essa expressão como um polinômio em x, sem parênteses e com termos semelhantes somados.

Passo 2

Vamos deduzir a fórmula que usamos para expandir um quadrado de binômio. Se tivermos dois símbolos quaisquer \;a\; e \;b\;, então
(a-b)^{2}=(a-b)(a-b).
Multiplicando usando a propriedade distributiva (FOIL: primeiro, exterior, interior, último),
(a-b)(a-b)=a\cdot a - a\cdot b - b\cdot a + b\cdot b.
Como a\cdot b e b\cdot a são iguais, juntamos os dois termos do meio e obtemos a identidade clássica
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Explicando devagar: a^{2} vem de multiplicar os primeiros termos; -2ab vem da soma dos dois produtos cruzados (cada um é -ab); b^{2} é o produto dos últimos termos.

Passo 3

Agora aplicamos essa fórmula à nossa expressão. Identificamos
a=2x\quad\text{e}\quad b=5.
Substituindo na fórmula (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} teremos os três termos que precisamos calcular separadamente.

Passo 4

Calculemos a^{2}. Como a=2x,
a^{2}=(2x)^{2}.
Para elevar um produto ao quadrado, elevamos cada fator ao quadrado:
(2x)^{2}=2^{2}\cdot x^{2}=4x^{2}.
Portanto, o primeiro termo é 4x^{2}.

Passo 5

Calculemos o termo médio -2ab. Substituindo a=2x e b=5,
-2ab=-2\cdot(2x)\cdot 5.
Multiplicando em etapas: -2\cdot 2x = -4x e -4x\cdot 5 = -20x. Então o termo do meio é -20x.

Passo 6

Calculemos b^{2}. Como b=5,
b^{2}=5^{2}=25.
Esse é o termo constante.

Passo 7

Agora juntamos os três termos obtidos: a^{2}=4x^{2}, -2ab=-20x e b^{2}=25. Somando-os (e lembrando de combinar termos semelhantes — aqui não há mais combinações a fazer) obtemos a forma expandida:
4x^{2}-20x+25.
Como checagem rápida: se x=1, a expressão original vale (2\cdot1-5)^{2}=(-3)^{2}=9 e a expandida dá 4-20+25=9, então bate certinho.

Resposta

4x^{2}-20x+25

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