Pergunta: a função f é diferenciável em (0,0)?
Informações relevantes: a expressão de f para (x,y)\neq(0,0) e o valor f(0,0)=0. Não há outra informação extra.]
Passo 2
Definição que vamos usar (explicada passo a passo): f é diferenciável em (0,0) se existe uma aplicação linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que
ou seja verificar que f(x,y)=o\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big) quando (x,y)\to(0,0). Vamos estimar |f(x,y)| em termos de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Passo 5
Usamos coordenadas polares para estimar (explico rápido o porquê: polares expressam x e y por r e um ângulo \theta, o que facilita ver como f depende de quão perto estamos da origem):
colocando x=r\cos\theta, y=r\sin\theta com r\ge0, obtemos, para (x,y)\neq(0,0),
Pelo passo anterior a condição de diferenciabilidade (com L=0) está satisfeita. Portanto f é diferenciável em (0,0). Além disso o gradiente em (0,0) é \nabla f(0,0)=(0,0) e o diferencial Df(0,0) é o mapa linear nulo.
Resposta
Sim. f é diferenciável em (0,0) e Df(0,0)=0 (ou \nabla f(0,0)=(0,0)).