A função f é diferenciável em (0,0) ? Justifique.
f(x, y)=\frac{x^{4} y}{x^{2}+y^{2}}\\, se \((x, y) \neq(0,0), e f(0,0)=0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle\frac{x^{4}y}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
Pergunta: a função f é diferenciável em (0,0)?
Informações relevantes: a expressão de f para (x,y)\neq(0,0) e o valor f(0,0)=0. Não há outra informação extra.]

Passo 2

Definição que vamos usar (explicada passo a passo): f é diferenciável em (0,0) se existe uma aplicação linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-L(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Aqui \sqrt{x^{2}+y^{2}} é a norma euclidiana de (x,y). Na prática a candidata natural para L é a dada pelas derivadas parciais em (0,0):
L(x,y)=f_{x}(0,0)\,x+f_{y}(0,0)\,y.
Portanto primeiro calculamos f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0) pela definição de derivada parcial.

Passo 3

Cálculo de f_{x}(0,0) pela definição:
f_{x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Para y=0 e h\neq0 temos f(h,0)=\dfrac{h^{4}\cdot 0}{h^{2}+0}=0. Então
f_{x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
Agora f_{y}(0,0):
f_{y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.
Para x=0 e h\neq0 temos f(0,h)=\dfrac{0^{4}\cdot h}{0+h^{2}}=0. Logo
f_{y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
Portanto a candidata linear é L(x,y)=0 (o mapa linear nulo).

Passo 4

Para concluir diferenciabilidade precisamos verificar
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-0}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0,
ou seja verificar que f(x,y)=o\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big) quando (x,y)\to(0,0). Vamos estimar |f(x,y)| em termos de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Usamos coordenadas polares para estimar (explico rápido o porquê: polares expressam x e y por r e um ângulo \theta, o que facilita ver como f depende de quão perto estamos da origem):
colocando x=r\cos\theta, y=r\sin\theta com r\ge0, obtemos, para (x,y)\neq(0,0),
x^{4}y = r^{5}\cos^{4}\theta\sin\theta, \qquad x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Logo
f(x,y)=\frac{x^{4}y}{x^{2}+y^{2}} = \frac{r^{5}\cos^{4}\theta\sin\theta}{r^{2}} = r^{3}\cos^{4}\theta\sin\theta.
Daí
|f(x,y)| = r^{3}\,|\cos^{4}\theta\sin\theta|\le r^{3},
porque |\cos^{4}\theta\sin\theta|\le 1. Então
\left|\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right| = \frac{|f(x,y)|}{r} \le \frac{r^{3}}{r}=r^{2}.
Como r\to0 quando (x,y)\to(0,0), temos r^{2}\to0, logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.

Passo 6

Pelo passo anterior a condição de diferenciabilidade (com L=0) está satisfeita. Portanto f é diferenciável em (0,0). Além disso o gradiente em (0,0) é \nabla f(0,0)=(0,0) e o diferencial Df(0,0) é o mapa linear nulo.

Resposta

Sim. f é diferenciável em (0,0) e Df(0,0)=0 (ou \nabla f(0,0)=(0,0)).

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