Questão 6) Um projétil é disparado com ângulo de elevação
e velocidade escalar inicial de
. Suponha que a resistência do ar seja desprezível e que a única força externa é devido à gravidade. Determine os possíveis ângulos de elevação para atingir um alvo a 2880 m de distância. (Use
).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Dados fornecidos:
- ângulo de elevação inicial:
(desconhecido); - velocidade escalar inicial:
; - aceleração da gravidade:
; - distância horizontal até o alvo (alcance desejado):
.
- ângulo de elevação inicial:
- O que se pede:
- Determinar os possíveis valores de
para que o projétil atinja um alvo a de distância.
- Determinar os possíveis valores de
- Observação implícita (aceita pelo enunciado): o alvo está no mesmo nível vertical do ponto de lançamento (ou seja, a altura final é igual à inicial).
Passo 2
Vamos escrever as componentes da velocidade inicial em termos de
. Se a velocidade inicial tem expressão escalar
e faz ângulo
com a horizontal, então:
Explicando:
é a componente horizontal da velocidade (quanto “anda” por segundo na horizontal) e
é a componente vertical (quanto “sobe” por segundo no instante inicial). Esses valores vêm da definição trigonométrica de cosseno e seno num triângulo retângulo.
Passo 3
Escrevemos as equações do movimento separando horizontal e vertical (resistência do ar desprezada).
- Movimento horizontal (aceleração horizontal nula):
- Movimento vertical (aceleração vertical
):
Aqui
é o tempo desde o lançamento,
é a posição horizontal e
a posição vertical.
Passo 4
Para atingir o alvo no mesmo nível de lançamento, precisamos que a altura volte a zero num tempo
. Assim resolvemos
(além da solução
trivial):
Fatorando
e tomando a solução não nula:
Esse é o tempo total de voo quando o projétil retorna à mesma altura de onde foi lançado.
Passo 5
Agora calculamos o alcance horizontal
substituindo
em
:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos a fórmula clássica do alcance:
Explanação: essa fórmula relaciona a distância horizontal máxima percorrida com a velocidade inicial, gravidade e o ângulo duplo
.
Passo 6
Substituímos os valores numéricos conhecidos para encontrar
. Temos
,
e
. Então:
Calculemos os termos:
Logo
Passo 7
Agora resolvemos
. No intervalo de interesse para ângulos de elevação (assumimos
), o argumento
está entre
e
. As soluções de
nesse intervalo são
e
. Portanto:
Dividindo por
:
Comentário didático: fisicamente isso significa que existem dois ângulos complementares cuja soma é
que dão o mesmo alcance — um disparo mais rasante e rápido no tempo e outro mais alto e mais lento no tempo, ambos atingindo a mesma distância horizontal se partirem e aterrissarem ao mesmo nível.