Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região determinada pelas curvas
com a restrição
, e encontrar a área dessa região.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
O objetivo final é calcular a área da região limitada por essas curvas (a região fechada formada por suas interseções, considerando apenas
).
Passo 2
Encontre interseções entre as duas parábolas: resolvemos
Subtraindo
dos dois lados vem
Logo as parábolas se encontram apenas em
. Nesse ponto
.
Passo 3
Encontre interseções de cada parábola com a reta
.
Primeiro com
:
Usamos fórmula de Bhaskara:
, então as raízes são
As raízes são
e
. Como consideramos
, a interseção relevante é
Agora com
:
Aqui
, então
A raiz positiva é
Chamaremos essa abscissa de
. Numericamente
, logo
. O ponto de interseção tem coordenadas
.
Resumo das interseções relevantes com
:
(parábolas se encontram),
(reta com
),
(reta com
). Ordem em
:
.
Passo 4
Esboço mental / descrição da região (para entender quais curvas estão “em cima” e “embaixo”):
- Para
pequeno (próximo de ) temos , então entre as duas parábolas a curva é a superior e é a inferior. - Em
a reta toca a parábola (pois nesse ponto ). Para (por exemplo ) temos (isto é, a parábola passa acima da reta), então para a reta não é o limite superior em relação a . - A reta continua descendo e encontra a parábola
em . Assim, para a parte superior da região é a reta e a inferior é . - Portanto a região limitada e com
é composta por duas “fatias” verticais: - de
até : o segmento vertical entre (baixo) e (cima); - de
até : o segmento vertical entre (baixo) e (cima).
O contorno fecha em(reta encontra a parábola inferior) e em (as parábolas se encontram em ).
- de
Passo 5
Montagem das integrais para a área. A área total
é soma das duas parcelas descritas:
onde
.
Justificativa: para cada o comprimento vertical é
, e integramos em
ao longo do intervalo apropriado.
Justificativa: para cada
Passo 6
Cálculo da primeira integral. Simplificamos o integrando:
Usamos a regra do integral da potência:
(para
). Assim
Portanto a primeira parcela da área é
.
Passo 7
Cálculo da segunda integral. Antiderivada do integrando
:
Chamemos essa primitiva de
. Avaliamos nos limites
e
.
Primeiro calcule
:
Agora
com
. Para evitar aproximações, calculamos simbolicamente:
Se , então
.
Se
Substituindo em
:
Calculando termo a termo:
Somando:
Portanto a segunda integral vale
Passo 8
Soma das parcelas e simplificação final. A área total é
Colocando em denominador comum
:
Para referência numérica rápida,
e portanto