Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=\frac{1}{2} x^{2}, \quad y=2 x^{2}, \quad x+y=3, \quad x \geqslant 0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região determinada pelas curvas
y=\tfrac{1}{2}x^{2},\qquad y=2x^{2},\qquad x+y=3,
com a restrição x\ge 0, e encontrar a área dessa região.
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) duas parábolas: }y=\tfrac{1}{2}x^{2}\text{ (mais "aberta") e }y=2x^{2}\text{ (mais "fechada");}á
\text{(ii) uma reta: }y=3-x;
\text{(iii) domínio restrito a }x\ge 0.í
O objetivo final é calcular a área da região limitada por essas curvas (a região fechada formada por suas interseções, considerando apenas x\ge0).

Passo 2

Encontre interseções entre as duas parábolas: resolvemos
\tfrac{1}{2}x^{2}=2x^{2}.
Subtraindo \tfrac{1}{2}x^{2} dos dois lados vem
0=\tfrac{3}{2}x^{2}\implies x^{2}=0\implies x=0.
Logo as parábolas se encontram apenas em x=0. Nesse ponto y=0.

Passo 3

Encontre interseções de cada parábola com a reta y=3-x.
Primeiro com y=2x^{2}:
2x^{2}=3-x \;\Longrightarrow\; 2x^{2}+x-3=0.
Usamos fórmula de Bhaskara: \Delta=1+24=25, então as raízes são
x=\frac{-1\pm5}{4}.
As raízes são x=1 e x=-\tfrac{3}{2}. Como consideramos x\ge0, a interseção relevante é
x=1,\quad y=2(1)^{2}=2.
Agora com y=\tfrac{1}{2}x^{2}:
\tfrac{1}{2}x^{2}=3-x \;\Longrightarrow\; x^{2}+2x-6=0.
Aqui \Delta=4+24=28, então
x=\frac{-2\pm\sqrt{28}}{2}=-1\pm\sqrt{7}.
A raiz positiva é
x=-1+\sqrt{7}.
Chamaremos essa abscissa de x_{2}=-1+\sqrt{7}. Numericamente \sqrt{7}\approx2{,}6458, logo x_{2}\approx1{,}6458. O ponto de interseção tem coordenadas \bigl(x_{2},\,3-x_{2}\bigr).
Resumo das interseções relevantes com x\ge0: x=0 (parábolas se encontram), x=1 (reta com y=2x^{2}), x=x_{2}=-1+\sqrt{7} (reta com y=\tfrac{1}{2}x^{2}). Ordem em x: 0<1<x_{2}.

Passo 4

Esboço mental / descrição da região (para entender quais curvas estão “em cima” e “embaixo”):
  • Para x pequeno (próximo de 0) temos \tfrac{1}{2}x^{2}<2x^{2}, então entre as duas parábolas a curva y=2x^{2} é a superior e y=\tfrac{1}{2}x^{2} é a inferior.
  • Em x=1 a reta toca a parábola y=2x^{2} (pois nesse ponto y=2). Para x>1 (por exemplo x=1{,}2) temos 2x^{2}>3-x (isto é, a parábola 2x^{2} passa acima da reta), então para x>1 a reta não é o limite superior em relação a 2x^{2}.
  • A reta continua descendo e encontra a parábola y=\tfrac{1}{2}x^{2} em x=x_{2}. Assim, para 1\le x\le x_{2} a parte superior da região é a reta y=3-x e a inferior é y=\tfrac{1}{2}x^{2}.
  • Portanto a região limitada e com x\ge0 é composta por duas “fatias” verticais:
    • de x=0 até x=1: o segmento vertical entre y=\tfrac{1}{2}x^{2} (baixo) e y=2x^{2} (cima);
    • de x=1 até x=x_{2}: o segmento vertical entre y=\tfrac{1}{2}x^{2} (baixo) e y=3-x (cima).
      O contorno fecha em x=x_{2} (reta encontra a parábola inferior) e em x=0 (as parábolas se encontram em y=0).

Passo 5

Montagem das integrais para a área. A área total A é soma das duas parcelas descritas:
A=\int_{0}^{1}\bigl(2x^{2}-\tfrac{1}{2}x^{2}\bigr)\,dx+\int_{1}^{x_{2}}\bigl((3-x)-\tfrac{1}{2}x^{2}\bigr)\,dx,
onde x_{2}=-1+\sqrt{7}.
Justificativa: para cada x o comprimento vertical é \text{(curva superior)}-\text{(curva inferior)}, e integramos em x ao longo do intervalo apropriado.

Passo 6

Cálculo da primeira integral. Simplificamos o integrando:
2x^{2}-\tfrac{1}{2}x^{2}=\tfrac{3}{2}x^{2}.
Usamos a regra do integral da potência: \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq-1). Assim
\int_{0}^{1}\tfrac{3}{2}x^{2}\,dx=\tfrac{3}{2}\cdot\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\tfrac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}=\tfrac{1}{2}.
Portanto a primeira parcela da área é \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Cálculo da segunda integral. Antiderivada do integrando (3-x)-\tfrac{1}{2}x^{2}:
\int\bigl(3-x-\tfrac{1}{2}x^{2}\bigr)\,dx=3x-\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x^{3}}{6}+C.
Chamemos essa primitiva de F(x)=3x-\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x^{3}}{6}. Avaliamos nos limites 1 e x_{2}.
Primeiro calcule F(1):
F(1)=3-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{6}=3-\tfrac{2}{3}=\tfrac{7}{3}.
Agora F(x_{2}) com x_{2}= -1+\sqrt{7}. Para evitar aproximações, calculamos simbolicamente:
Se s=\sqrt{7}, então x_{2}=s-1.
x_{2}^{2}=(s-1)^{2}=s^{2}-2s+1=7-2s+1=8-2s,
x_{2}^{3}=x_{2}^{2}\cdot x_{2}=(8-2s)(s-1)=8s-8-2s^{2}+2s=10s-8-14=10s-22.
Substituindo em F:
F(x_{2})=3(s-1)-\tfrac{1}{2}(8-2s)-\tfrac{1}{6}(10s-22).
Calculando termo a termo:
3(s-1)=3s-3,\qquad -\tfrac{1}{2}(8-2s)=-4+s,
-\tfrac{1}{6}(10s-22)=-\tfrac{5}{3}s+\tfrac{11}{3}.
Somando:
F(x_{2})=(3s-3)+(-4+s)+\Bigl(-\tfrac{5}{3}s+\tfrac{11}{3}\Bigr)=\tfrac{7}{3}s-\tfrac{10}{3}.
Portanto a segunda integral vale
A_{2}=F(x_{2})-F(1)=\Bigl(\tfrac{7}{3}\sqrt{7}-\tfrac{10}{3}\Bigr)-\tfrac{7}{3}=\tfrac{7}{3}\sqrt{7}-\tfrac{17}{3}.

Passo 8

Soma das parcelas e simplificação final. A área total é
A=\tfrac{1}{2}+\Bigl(\tfrac{7}{3}\sqrt{7}-\tfrac{17}{3}\Bigr).
Colocando em denominador comum 6:
A=\frac{3}{6}+\frac{14\sqrt{7}-34}{6}=\frac{14\sqrt{7}-31}{6}.
Para referência numérica rápida, \sqrt{7}\approx2{,}6458 e portanto
A\approx\frac{14\cdot2{,}6458-31}{6}\approx1{,}007\\ \text{(unidades de área)}.á

Resposta

\displaystyle \frac{14\sqrt{7}-31}{6}

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