Questão 4) Prove que a curva
está parametrizada por comprimento de arco.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede para provar que essa curva está parametrizada por comprimento de arco.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função vetorial
com três coordenadas explícitas em função de . - Não há restrição explícita sobre o domínio de
no enunciado (podemos trabalhar para todo ).
O que se pede: mostrar que o parâmetrocorresponde ao comprimento de arco (ou seja, que o parâmetro é a própria distância percorrida ao longo da curva a partir de algum ponto inicial).
Passo 2
Definição e ideia do que vamos provar (sem cálculos ainda).
- Uma curva
está parametrizada por comprimento de arco se, ao medir o comprimento percorrido desde um ponto até , esse comprimento coincide com . - Formalmente, o comprimento de arco desde
até é
onde
é a norma (ou velocidade) do vetor derivada
.
- Portanto, uma maneira direta de provar que
é parâmetro de comprimento de arco é mostrar que
Se
então
e escolhendo
obtemos
, ou seja, o parâmetro
é o próprio comprimento de arco medido a partir de
.
Breve lembrete técnico: denota a norma euclidiana do vetor
e, para
,
Breve lembrete técnico:
Passo 3
Calcular
componente a componente, usando regra da cadeia e derivadas trigonométricas básicas.
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Multiplicando pelos cofatoresnas duas primeiras coordenadas, obtemos
Passo 4
Calcular a norma
. Primeiro calculemos o quadrado da norma (mais fácil, pois elimina a raiz):
Agora fatoramos termos comuns nas duas primeiras parcelas:
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
. Assim
Observe que
. Portanto
Como a norma é não negativa,
para todo
.
Passo 5
Concluir a propriedade de parametrização por comprimento de arco.
Como para todo
, o comprimento de arco a partir de
até
é
Como
Escolhendo
temos
. Logo o parâmetro
mede diretamente o comprimento de arco a partir de
, ou seja, a curva está parametrizada por comprimento de arco.
Resposta
A curva está parametrizada por comprimento de arco, pois
para todo
(logo
tomando
).