Questão 4) Prove que a curva r(t)=(40 \cos (t / 41), 40 \operatorname{sen}(t / 41), 9 t / 41) está parametrizada por comprimento de arco.

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=\bigl(40\cos\bigl(\tfrac{t}{41}\bigr),\;40\sin\bigl(\tfrac{t}{41}\bigr),\;\tfrac{9t}{41}\bigr)
e pede para provar que essa curva está parametrizada por comprimento de arco.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função vetorial r(t) com três coordenadas explícitas em função de t.
  • Não há restrição explícita sobre o domínio de t no enunciado (podemos trabalhar para todo t\in\mathbb{R}).
    O que se pede: mostrar que o parâmetro t corresponde ao comprimento de arco (ou seja, que o parâmetro é a própria distância percorrida ao longo da curva a partir de algum ponto inicial).

Passo 2

Definição e ideia do que vamos provar (sem cálculos ainda).
  • Uma curva r(t) está parametrizada por comprimento de arco se, ao medir o comprimento percorrido desde um ponto t_{0} até t, esse comprimento s(t) coincide com t-t_{0}.
  • Formalmente, o comprimento de arco desde t_{0} até t é
s(t)=\int_{t_{0}}^{t}\|r'(u)\|\,du,
onde \|r'(u)\| é a norma (ou velocidade) do vetor derivada r'(u).
  • Portanto, uma maneira direta de provar que t é parâmetro de comprimento de arco é mostrar que
\|r'(t)\|=1\quad\text{para todo }t.
Se \|r'(t)\|=1 então
s(t)=\int_{t_{0}}^{t}1\,du=t-t_{0},
e escolhendo t_{0}=0 obtemos s(t)=t, ou seja, o parâmetro t é o próprio comprimento de arco medido a partir de t=0.
Breve lembrete técnico: \|v\| denota a norma euclidiana do vetor v e, para v=(v_{1},v_{2},v_{3}),
\|v\|=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}.

Passo 3

Calcular r'(t) componente a componente, usando regra da cadeia e derivadas trigonométricas básicas.
  • Derivada de \cos\bigl(\tfrac{t}{41}\bigr) em relação a t é -\sin\bigl(\tfrac{t}{41}\bigr)\cdot\tfrac{1}{41}.
  • Derivada de \sin\bigl(\tfrac{t}{41}\bigr) é \cos\bigl(\tfrac{t}{41}\bigr)\cdot\tfrac{1}{41}.
  • Derivada de \tfrac{9t}{41} é \tfrac{9}{41}.
    Multiplicando pelos cofatores 40 nas duas primeiras coordenadas, obtemos
r'(t)=\left(-\frac{40}{41}\sin\bigl(\tfrac{t}{41}\bigr),\;\frac{40}{41}\cos\bigl(\tfrac{t}{41}\bigr),\;\frac{9}{41}\right).

Passo 4

Calcular a norma \|r'(t)\|. Primeiro calculemos o quadrado da norma (mais fácil, pois elimina a raiz):
\|r'(t)\|^{2}=\left(-\frac{40}{41}\sin\bigl(\tfrac{t}{41}\bigr)\right)^{2}+\left(\frac{40}{41}\cos\bigl(\tfrac{t}{41}\bigr)\right)^{2}+\left(\frac{9}{41}\right)^{2}.
Agora fatoramos termos comuns nas duas primeiras parcelas:
\|r'(t)\|^{2}=\left(\frac{40}{41}\right)^{2}\bigl(\sin^{2}\bigl(\tfrac{t}{41}\bigr)+\cos^{2}\bigl(\tfrac{t}{41}\bigr)\bigr)+\left(\frac{9}{41}\right)^{2}.
Usamos a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1. Assim
\|r'(t)\|^{2}=\left(\frac{40}{41}\right)^{2}\cdot 1+\left(\frac{9}{41}\right)^{2}=\frac{40^{2}+9^{2}}{41^{2}}=\frac{1600+81}{41^{2}}=\frac{1681}{41^{2}}.
Observe que 1681=41^{2}. Portanto
\|r'(t)\|^{2}=\frac{41^{2}}{41^{2}}=1.
Como a norma é não negativa, \|r'(t)\|=\sqrt{1}=1 para todo t.

Passo 5

Concluir a propriedade de parametrização por comprimento de arco.
Como \|r'(t)\|=1 para todo t, o comprimento de arco a partir de t_{0} até t é
s(t)=\int_{t_{0}}^{t}\|r'(u)\|\,du=\int_{t_{0}}^{t}1\,du=t-t_{0}.
Escolhendo t_{0}=0 temos s(t)=t. Logo o parâmetro t mede diretamente o comprimento de arco a partir de t=0, ou seja, a curva está parametrizada por comprimento de arco.

Resposta

A curva está parametrizada por comprimento de arco, pois \|r'(t)\|=1 para todo t (logo s(t)=t tomando t_{0}=0).

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