Questão 6 (Propriedades da Ordem). Prove as seguintes afirmações para inteiros x, y, z :
a) Tricotomia: Exatamente uma das seguintes afirmações é verdadeira: x>y, x<y, ou x=y.

Passo 1

O enunciado pede que se mostre, para inteiros x e y, que exatamente uma das três afirmações seguintes é verdadeira:
x>y,\qquad x<y,\qquad x=y.
Informações dadas: x e y são inteiros arbitrários. O que se precisa demonstrar é que as três alternativas são (i) exaustivas — pelo menos uma é verdadeira — e (ii) mutuamente exclusivas — não podem acontecer duas ou mais ao mesmo tempo. A seguir vamos provar essas duas propriedades de forma clara e passo a passo.

Passo 2

Definição e ideia principal (explicação didática).
  • Para inteiros, é comum decidir ordem usando a diferença: dizemos que a>b quando a-b é um inteiro positivo; dizemos a=b quando a-b=0; e dizemos a<b quando a-b é um inteiro negativo.
  • Portanto basta estudar, para o inteiro
n := x-y,
quais são as possibilidades: n>0, n=0 ou n<0. Se para todo inteiro n exatamente uma dessas alternativas vale, então substituindo n=x-y obtemos o resultado desejado para x e y. Vou mostrar então que, para qualquer inteiro n, exatamente uma das afirmações n>0, n=0, n<0 é verdadeira.

Passo 3

Representação de um inteiro como diferença de naturais (por que isso é sempre possível).
  • Se n\ge 0 então n = n - 0 é uma diferença de naturais.
  • Se n<0 então -n>0 e n = 0 - (-n) é também uma diferença de naturais.
    Logo todo inteiro n pode ser escrito como n = a-b com a,b naturais ( a,b\in\mathbb{N}). Isto é útil porque os números naturais têm a propriedade de tricotomia: para quaisquer naturais a,b exatamente uma das afirmações a=b, a<b ou a>b é verdadeira.

Passo 4

Aplicando a tricotomia dos naturais ao caso n=a-b.
Se n=a-b com a,b\in\mathbb{N}, então pela tricotomia dos naturais há três casos exclusivos:
  1. Se a=b então
n = a-b = 0,
ou seja, n=0.
  1. Se a>b então existe k\in\mathbb{N}, k>0, tal que a=b+k. Assim
n = a-b = (b+k)-b = k,
com k>0. Logo n>0.
  1. Se a<b então existe k\in\mathbb{N}, k>0, tal que b=a+k. Assim
n = a-b = a-(a+k) = -k,
com k>0. Logo n<0.
Esses três subcasos são mutuamente exclusivos (pela tricotomia em \mathbb{N}) e cobrem todas as possibilidades. Concluímos que, para qualquer inteiro n, exatamente uma entre n>0, n=0, n<0 é verdadeira.

Passo 5

Traduzindo a conclusão para x e y.
Tomando n:=x-y, o argumento do passo anterior mostra que exatamente uma das afirmações
x-y>0,\qquad x-y=0,\qquad x-y<0
é verdadeira. Pelas definições de ordem isso equivale exatamente a dizer que exatamente uma das afirmações
x>y,\qquad x=y,\qquad x<y
é verdadeira. (A ordem das alternativas foi apenas rearranjada para ficar no formato pedido.)

Resposta

Exatamente uma das afirmações x>y, x<y ou x=y é verdadeira.

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