Questão 6 (Propriedades da Ordem). Prove as seguintes afirmações para inteiros
:
a) Tricotomia: Exatamente uma das seguintes afirmações é verdadeira:
, ou
.
a) Tricotomia: Exatamente uma das seguintes afirmações é verdadeira:
Passo 1
O enunciado pede que se mostre, para inteiros
e
, que exatamente uma das três afirmações seguintes é verdadeira:
Informações dadas:
e
são inteiros arbitrários. O que se precisa demonstrar é que as três alternativas são (i) exaustivas — pelo menos uma é verdadeira — e (ii) mutuamente exclusivas — não podem acontecer duas ou mais ao mesmo tempo. A seguir vamos provar essas duas propriedades de forma clara e passo a passo.
Passo 2
Definição e ideia principal (explicação didática).
- Para inteiros, é comum decidir ordem usando a diferença: dizemos que
quando é um inteiro positivo; dizemos quando ; e dizemos quando é um inteiro negativo. - Portanto basta estudar, para o inteiro
quais são as possibilidades:
,
ou
. Se para todo inteiro
exatamente uma dessas alternativas vale, então substituindo
obtemos o resultado desejado para
e
. Vou mostrar então que, para qualquer inteiro
, exatamente uma das afirmações
,
,
é verdadeira.
Passo 3
Representação de um inteiro como diferença de naturais (por que isso é sempre possível).
- Se
então é uma diferença de naturais. - Se
então e é também uma diferença de naturais.
Logo todo inteiropode ser escrito como com naturais ( ). Isto é útil porque os números naturais têm a propriedade de tricotomia: para quaisquer naturais exatamente uma das afirmações , ou é verdadeira.
Passo 4
Aplicando a tricotomia dos naturais ao caso
.
Se com
, então pela tricotomia dos naturais há três casos exclusivos:
Se
- Se
então
ou seja,
.
- Se
então existe , , tal que . Assim
com
. Logo
.
- Se
então existe , , tal que . Assim
com
. Logo
.
Esses três subcasos são mutuamente exclusivos (pela tricotomia em
) e cobrem todas as possibilidades. Concluímos que, para qualquer inteiro
, exatamente uma entre
,
,
é verdadeira.
Passo 5
Traduzindo a conclusão para
e
.
Tomando , o argumento do passo anterior mostra que exatamente uma das afirmações
Tomando
é verdadeira. Pelas definições de ordem isso equivale exatamente a dizer que exatamente uma das afirmações
é verdadeira. (A ordem das alternativas foi apenas rearranjada para ficar no formato pedido.)
Resposta
Exatamente uma das afirmações
,
ou
é verdadeira.