Prove que a adição e a multiplicação de inteiros estão bem definidas. Ou seja, assumindo que ",[(a, b)]=\left[\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)\right]) e ",[(c, d)]=\left[\left(c^{\prime}, d^{\prime}\right)\right]), demonstre que:
b) ",[(a, b)] \cdot[(c, d)]=\left[\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)\right] \cdot\left[\left(c^{\prime}, d^{\prime}\right)\right])

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (em linguagem clara).
  • Foi dada a relação de equivalência que define os inteiros por pares de naturais: dois pares (a,b) e (a',b') são equivalentes quando
a+b' = a' + b.
  • Admitimos que
[(a,b)] = \left[(a',b')\right]\quad\text{e}\quad [(c,d)] = \left[(c',d')\right],
ou seja, temos as igualdades (na aritmética dos naturais)
a+b' = a' + b \quad\text{e}\quad c + d' = c' + d.
  • A multiplicação entre classes é definida pela regra (definição dada na construção dos inteiros):
[(a,b)]\cdot[(c,d)] \stackrel{\text{def}}{=} \bigl[(ac+bd,\;ad+bc)\bigr].
  • O objetivo: provar que a definição acima não depende da escolha dos representantes. Em outras palavras, mostrar que
\bigl[(ac+bd,\;ad+bc)\bigr] \;=\; \bigl[(a'c'+b'd',\;a'd'+b'c')\bigr],
ou seja, provar que os pares (ac+bd,\;ad+bc) e (a'c'+b'd',\;a'd'+b'c') são equivalentes segundo a relação que define os inteiros.

Passo 2

Ideia principal e ferramenta que vamos usar.
  • Intuição: a classe [(a,b)] representa o inteiro a-b. Assim a classe produto representa o produto dos inteiros representados, isto é
[(a,b)]\cdot[(c,d)] \quad\text{deve representar}\quad (a-b)(c-d).
  • Vamos usar a álgebra distributiva e as duas igualdades dadas para transformar as expressões e chegar à igualdade exigida pela relação de equivalência:
(ac+bd) + (a'd'+b'c') \;=\; (a'c'+b'd') + (ad+bc).
Mostrar essa igualdade basta, porque ela é exatamente a condição
(ac+bd,\;ad+bc) \sim (a'c'+b'd',\;a'd'+b'c').

Passo 3

Mostrar que o produto corresponde ao produto das diferenças (fórmula e expansão).
  • Calcule o produto das diferenças (a-b)(c-d) usando distributividade:
(a-b)(c-d) = ac - ad - bc + bd.
  • Observe que, reagrupando termos, isso é exatamente a diferença entre as componentes do par que definimos para o produto:
\bigl(ac+bd\bigr) - \bigl(ad+bc\bigr) = ac+bd-ad-bc = (a-b)(c-d).
  • Logo a classe \bigl[(ac+bd,\;ad+bc)\bigr] corresponde ao inteiro (a-b)(c-d), isto é, o par escolhido de acordo com a definição realmente representa o produto das diferenças.

Passo 4

Usar as hipóteses de equivalência dos representantes para igualar as diferenças.
  • Das hipóteses temos
a+b' = a' + b \quad\Rightarrow\quad a-b = a' - b'
e
c+d' = c' + d \quad\Rightarrow\quad c-d = c' - d'.
(Aqui a passagem para a-b é a interpretação da igualdade anterior na aritmética inteira: a igualdade entre somas implica que as diferenças correspondentes como inteiros coincidem.)
  • Multiplicando essas igualdades de diferenças obtemos
(a-b)(c-d) = (a'-b')(c'-d').

Passo 5

Expandir a igualdade dos produtos das diferenças e reescrever na forma da equivalência entre pares.
  • Expanda ambos os lados:
(a-b)(c-d) = ac - ad - bc + bd,
(a'-b')(c'-d') = a'c' - a'd' - b'c' + b'd'.
  • Como os dois lados são iguais (pela Passo 4), temos
ac - ad - bc + bd = a'c' - a'd' - b'c' + b'd'.
  • Reagrupando (somando ad+bc+a'd'+b'c' aos dois lados) obtemos exatamente
(ac+bd) + (a'd'+b'c') = (a'c'+b'd') + (ad+bc).
  • Essa igualdade é a condição definidora da equivalência entre os pares (ac+bd,\;ad+bc) e (a'c'+b'd',\;a'd'+b'c'), pois a relação de equivalência exige igualdade entre as somas cruzadas das componentes.

Passo 6

Conclusão final (o que a igualdade anterior implica para as classes).
  • A igualdade
(ac+bd) + (a'd'+b'c') = (a'c'+b'd') + (ad+bc)
significa, por definição da relação de equivalência, que
\bigl(ac+bd,\;ad+bc\bigr) \sim \bigl(a'c'+b'd',\;a'd'+b'c'\bigr).
  • Portanto as classes formadas por esses pares coincidem:
\bigl[(ac+bd,\;ad+bc)\bigr] \;=\; \bigl[(a'c'+b'd',\;a'd'+b'c')\bigr].
  • Em termos da operação, isto é exatamente a afirmação de que a multiplicação está bem definida:
[(a,b)]\cdot[(c,d)] \;=\; \left[(a',b')\right]\cdot\left[(c',d')\right].

Resposta

[ (a,b)]\cdot[(c,d)] = \left[(a',b')\right]\cdot\left[(c',d')\right]

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