Prove que a adição e a multiplicação de inteiros estão bem definidas. Ou seja, assumindo que ",[(a, b)]=\left[\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)\right]) e ",[(c, d)]=\left[\left(c^{\prime}, d^{\prime}\right)\right]), demonstre que:
b) ",[(a, b)] \cdot[(c, d)]=\left[\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)\right] \cdot\left[\left(c^{\prime}, d^{\prime}\right)\right])
b) ",[(a, b)] \cdot[(c, d)]=\left[\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)\right] \cdot\left[\left(c^{\prime}, d^{\prime}\right)\right])
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (em linguagem clara).
- Foi dada a relação de equivalência que define os inteiros por pares de naturais: dois pares
e são equivalentes quando
- Admitimos que
ou seja, temos as igualdades (na aritmética dos naturais)
- A multiplicação entre classes é definida pela regra (definição dada na construção dos inteiros):
- O objetivo: provar que a definição acima não depende da escolha dos representantes. Em outras palavras, mostrar que
ou seja, provar que os pares
e
são equivalentes segundo a relação que define os inteiros.
Passo 2
Ideia principal e ferramenta que vamos usar.
- Intuição: a classe
representa o inteiro . Assim a classe produto representa o produto dos inteiros representados, isto é
- Vamos usar a álgebra distributiva e as duas igualdades dadas para transformar as expressões e chegar à igualdade exigida pela relação de equivalência:
Mostrar essa igualdade basta, porque ela é exatamente a condição
Passo 3
Mostrar que o produto corresponde ao produto das diferenças (fórmula e expansão).
- Calcule o produto das diferenças
usando distributividade:
- Observe que, reagrupando termos, isso é exatamente a diferença entre as componentes do par que definimos para o produto:
- Logo a classe
corresponde ao inteiro , isto é, o par escolhido de acordo com a definição realmente representa o produto das diferenças.
Passo 4
Usar as hipóteses de equivalência dos representantes para igualar as diferenças.
- Das hipóteses temos
e
(Aqui a passagem para
é a interpretação da igualdade anterior na aritmética inteira: a igualdade entre somas implica que as diferenças correspondentes como inteiros coincidem.)
- Multiplicando essas igualdades de diferenças obtemos
Passo 5
Expandir a igualdade dos produtos das diferenças e reescrever na forma da equivalência entre pares.
- Expanda ambos os lados:
- Como os dois lados são iguais (pela Passo 4), temos
- Reagrupando (somando
aos dois lados) obtemos exatamente
- Essa igualdade é a condição definidora da equivalência entre os pares
e , pois a relação de equivalência exige igualdade entre as somas cruzadas das componentes.
Passo 6
Conclusão final (o que a igualdade anterior implica para as classes).
- A igualdade
significa, por definição da relação de equivalência, que
- Portanto as classes formadas por esses pares coincidem:
- Em termos da operação, isto é exatamente a afirmação de que a multiplicação está bem definida: