Seja \alpha a curva plana de equação (x-1)^{2}+(y-5)^{2}=1. Determine, se houver, o(s) ponto(s) de interseção de \alpha com a reta s de equação (x, y)=\left(\frac{3}{2}, 9\right)+t(0,1), com t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá a curva \alpha e a reta s e pede os pontos de interseção entre elas. Informações fornecidas:
\alpha:\\ (x-1)^{2}+(y-5)^{2}=1
s:\\ (x,y)=\left(\tfrac{3}{2},9\right)+t(0,1),\quad t\in\mathbb{R}
Pergunta explícita: determinar, se houver, os pontos (x,y) que pertencem simultaneamente a \alpha e a s.

Passo 2

Escrevo as componentes da reta s. Como o vetor diretor é (0,1), a reta é vertical em x e o parâmetro afeta só y. Assim:
x=\tfrac{3}{2},\qquad y=9+t.

Passo 3

Para achar interseções, substituo x e y da reta na equação da circunferência. Substituindo x=\tfrac{3}{2} e y=9+t em (x-1)^{2}+(y-5)^{2}=1 obtenho:
\left(\tfrac{3}{2}-1\right)^{2}+\left(9+t-5\right)^{2}=1.

Passo 4

Calculo os termos numéricos passo a passo. Primeiro \tfrac{3}{2}-1=\tfrac{1}{2}, então
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}.
Também 9+t-5=t+4. Então a equação vira
\tfrac{1}{4}+(t+4)^{2}=1.

Passo 5

Isolo o quadrado:
(t+4)^{2}=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
Agora aplico a raiz quadrada (lembrando que há sinal \pm):
t+4=\pm \sqrt{\tfrac{3}{4}}=\pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
t=-4\pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Agora encontro as coordenadas y correspondentes usando y=9+t:
y=9+\left(-4\pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=5\pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
O x é sempre \tfrac{3}{2}. Portanto os pontos de interseção são
\left(\tfrac{3}{2},\,5+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\quad\text{e}\quad\left(\tfrac{3}{2},\,5-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 7

Curta verificação rápida: para cada uma das duas y acima, (x-1)^{2}+(y-5)^{2}=\tfrac{1}{4}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{4}=1, então ambas satisfazem a equação da circunferência — beleza, são soluções válidas.

Resposta

\left(\tfrac{3}{2},\,5+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
\left(\tfrac{3}{2},\,5-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)

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