Questão 2. Sejam
e
. Use a primeira forma do Princípio de Induçāo para provar as afirmaçōes abaixo.
;
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que para quaisquer
e todo
vale
O conteúdo é o Princípio de Indução: estabelecemos a base
e depois o passo indutivo de
para
.
Passo 2
Base da indução (
):
logo
divide
trivialmente.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que para algum
já se tenha
Precisamos mostrar que então
Escrevemos
Observe que
Portanto,
Pela hipótese indutiva,
e claramente
. Logo
divide a soma, ou seja,
Passo 4
Pelo Princípio de Indução, concluímos que para todo
vale
Resposta
Afirmamos que para todos
e todo
tem-se
, conforme demonstrado por indução.