Questão 2. Sejam a, b in Z e n in N^*. Use a primeira forma do Princípio de Induçāo para provar as afirmaçōes abaixo.
(a-b) mid(a^n-b^n);

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que para quaisquer a,binZ e todo ninN^* vale
(a-b)midl(a^n - b^nr)
O conteúdo é o Princípio de Indução: estabelecemos a base n=1 e depois o passo indutivo de k para k+1.

Passo 2

Base da indução ( n=1):
a^1 - b^1 = a - b,
logo (a-b) divide a^1 - b^1 trivialmente.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum k>=1 já se tenha
(a-b)midl(a^k - b^kr)
Precisamos mostrar que então
(a-b)midl(a^k+1 - b^k+1r)
Escrevemos
a^k+1 - b^k+1 = acdot a^k - bcdot b^k = al(a^k - b^kr) + l(a,b^k - bcdot b^kr)
Observe que
a,b^k - bcdot b^k = b^k,(a-b)
Portanto,
a^k+1 - b^k+1 = al(a^k - b^kr) + b^k,(a-b)
Pela hipótese indutiva, (a-b)midl(a^k - b^kr) e claramente (a-b)mid b^k,(a-b). Logo (a-b) divide a soma, ou seja,
(a-b)midl(a^k+1 - b^k+1r)

Passo 4

Pelo Princípio de Indução, concluímos que para todo ninN^* vale
(a-b)midl(a^n - b^nr)

Resposta

Afirmamos que para todos a,binZ e todo ninN^* tem-se (a-b)mid(a^n-b^n), conforme demonstrado por indução.

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