Questão 0.2. Prove que, para quaisquer vetores não nulos
e
temos:
, onde
é a medida algebrica de
na direção de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois vetores não nulos
e
(com
), a medida algébrica
de
na direção de
coincide com o produto escalar
. O conteúdo envolve definição de projeção ortogonal (componente escalar) e definição de produto escalar em termos de ângulo.
Passo 2
Definimos a medida algébrica
de
na direção de
como o único escalar tal que a projeção ortogonal de
sobre
seja
Como
é unitário (
), o valor de
é exatamente a componente escalar de
segundo
, ou seja
onde
é o ângulo entre
e
, e o sinal de
garante a orientação.
Passo 3
Pela definição do produto escalar em termos de norma e ângulo, temos
Mas como
, isso simplifica para
Passo 4
Comparando as duas expressões, vemos que
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