Questão 0.2. Prove que, para quaisquer vetores não nulos v e u temos: t=v cdot u, onde t é a medida algebrica de v na direção de u.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois vetores não nulos vec v e vec u (com |vec u|=1), a medida algébrica t de vec v na direção de vec u coincide com o produto escalar vec vcdotvec u. O conteúdo envolve definição de projeção ortogonal (componente escalar) e definição de produto escalar em termos de ângulo.

Passo 2

Definimos a medida algébrica t de vec v na direção de vec u como o único escalar tal que a projeção ortogonal de vec v sobre vec u seja
projvec u(vec v)=t,vec u
Como vec u é unitário ( |vec u|=1), o valor de t é exatamente a componente escalar de vec v segundo vec u, ou seja
t=|vec v|costheta,
onde theta é o ângulo entre vec v e vec u, e o sinal de costheta garante a orientação.

Passo 3

Pela definição do produto escalar em termos de norma e ângulo, temos
vec vcdot vec u=|vec v|,|vec u|costheta
Mas como |vec u|=1, isso simplifica para
vec vcdot vec u=|vec v|costheta

Passo 4

Comparando as duas expressões, vemos que
t=|vec v|costheta e vec vcdot vec u=|vec v|costheta,
logo
t=vec vcdot vec u

Resposta

t=vec vcdot vec u.

Exercícios relacionados