Questão 9. Prove as seguintes propriedades fundamentais da multiplicação para quaisquer naturais a, b e c :
(Ausência de divisores de zero) a \cdot b=0 se, e somente se, pelo menos um dentre a e b for igual a zero.

Passo 1

O enunciado pede para provar a seguinte propriedade para quaisquer naturais a e b:
a\cdot b = 0 \quad\text{se, e somente se,}\quad a=0 \;\text{ou}\; b=0.
Informações dadas e o que precisamos mostrar:
  • a e b são números naturais (incluindo 0).
  • É preciso provar a equivalência: a implicação direta ( \Rightarrow) e a recíproca ( \Leftarrow).
  • Não há outras hipóteses; pode-se usar a definição usual de multiplicação em \mathbb{N} (recursiva) e propriedades básicas da adição em \mathbb{N}.

Passo 2

Vamos lembrar (e usar) a definição padrão de multiplicação em \mathbb{N} construída a partir da adição:
  • Para todo natural a,
a\cdot 0 = 0.
  • Para todo natural a e todo natural b,
a\cdot (b+1) = a\cdot b + a.
Também vamos usar um fato simples sobre adição em \mathbb{N} (que provaremos como lema): a soma de dois naturais é zero somente quando ambos são zero. Em símbolos,
x+y=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \\ \text{e}\\ y=0.
Esse lema é intuitivo: como não existem naturais negativos e 0 não é sucessor de ninguém, não há como somar algo não nulo e obter 0. Vou provar isso no próximo passo.

Passo 3

Prova do lema: se x+y=0 então x=0 e y=0.
Prova por indução em y.
Base ( y=0): se x+0=0 então, pela propriedade da adição, x=0. Logo o caso y=0 x=0 e y=0.
Passo indutivo: suponha que para um certo y vale que, se x+y=0 então x=0 e y=0. Consideremos y+1 e suponha que x+(y+1)=0. Pela associatividade e definição de sucessor, x+(y+1) é o sucessor de x+y; ou seja, existe z=x+y tal que x+(y+1) = z+1. Mas, pelo axioma de Peano, nenhum sucessor pode ser igual a 0. Assim é impossível que x+(y+1)=0. Logo a hipótese x+(y+1)=0 nunca ocorre, e então não há contraexemplo: o único modo de ter soma zero é o caso y=0 (já tratado). Concluímos que se x+y=0 então necessariamente y=0 e daí x+0=0 implica x=0.
Portanto o lema está provado:
x+y=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \\ \text{e}\\ y=0.

Passo 4

Prova da implicação recíproca ( \Leftarrow): se a=0 ou b=0 então a\cdot b=0.
  • Se b=0, então pela definição de multiplicação
a\cdot b = a\cdot 0 = 0.
  • Se a=0, mostramos 0\cdot b=0 por indução em b.
Base ( b=0): 0\cdot 0 = 0 por definição.
Passo indutivo: suponha 0\cdot b = 0. Então
0\cdot(b+1) = 0\cdot b + 0 = 0 + 0 = 0.
Assim, por indução, 0\cdot b = 0 para todo b.
Portanto, se a=0 ou b=0 então a\cdot b=0. A direção ( \Leftarrow) está provada.

Passo 5

Prova da implicação direta ( \Rightarrow): se a\cdot b=0 então a=0 ou b=0.
Faremos indução em b (para cada fixo a).
Base ( b=0): temos a\cdot 0=0 por definição, logo a conclusão é verdadeira (neste caso b=0).
Passo indutivo: suponha a afirmação verdadeira para um dado b: para todo a, se a\cdot b=0 então a=0 ou b=0. Vamos mostrar que vale para b+1. Tome um a qualquer e suponha
a\cdot (b+1) = 0.
Pela definição de multiplicação,
a\cdot (b+1) = a\cdot b + a.
Portanto
a\cdot b + a = 0.
Aplicando o lema do Passo 3 (soma igual a zero implica ambos termos zero), obtemos
a\cdot b = 0 \quad\text{e}\quad a = 0.
Em particular a=0, então a conclusão " a=0 ou b+1=0" é satisfeita (note que b+1 nunca é 0, então o único caso possível é a=0). Assim, para b+1 também vale: se a\cdot(b+1)=0 então a=0 ou b+1=0 (na prática obtivemos a=0).
Com isso, por indução em b, para todo natural b e todo natural a temos: se a\cdot b=0 então a=0 ou b=0.

Passo 6

Juntando os dois sentidos:
  • Já vimos que a=0 ou b=0 implica a\cdot b=0.
  • E que a\cdot b=0 implica a=0 ou b=0.
Portanto a equivalência está provada.
Força aí — essa propriedade é ótima porque mostra que em \mathbb{N} não existem divisores de zero: produto zero só acontece se um dos fatores for zero.

Resposta

a\cdot b = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a=0 \\ \text{ou}\\ b=0.

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