Questão 9. Prove as seguintes propriedades fundamentais da multiplicação para quaisquer naturais
e
:
(Ausência de divisores de zero)
se, e somente se, pelo menos um dentre
e
for igual a zero.
(Ausência de divisores de zero)
Passo 1
O enunciado pede para provar a seguinte propriedade para quaisquer naturais
e
:
Informações dadas e o que precisamos mostrar:
-
e são números naturais (incluindo ). - É preciso provar a equivalência: a implicação direta (
) e a recíproca ( ). - Não há outras hipóteses; pode-se usar a definição usual de multiplicação em
(recursiva) e propriedades básicas da adição em .
Passo 2
Vamos lembrar (e usar) a definição padrão de multiplicação em
construída a partir da adição:
- Para todo natural
,
- Para todo natural
e todo natural ,
Também vamos usar um fato simples sobre adição em
(que provaremos como lema): a soma de dois naturais é zero somente quando ambos são zero. Em símbolos,
Esse lema é intuitivo: como não existem naturais negativos e
não é sucessor de ninguém, não há como somar algo não nulo e obter
. Vou provar isso no próximo passo.
Passo 3
Prova do lema: se
então
e
.
Prova por indução em
.
Base (
): se
então, pela propriedade da adição,
. Logo o caso
dá
e
.
Passo indutivo: suponha que para um certo
vale que, se
então
e
. Consideremos
e suponha que
. Pela associatividade e definição de sucessor,
é o sucessor de
; ou seja, existe
tal que
. Mas, pelo axioma de Peano, nenhum sucessor pode ser igual a
. Assim é impossível que
. Logo a hipótese
nunca ocorre, e então não há contraexemplo: o único modo de ter soma zero é o caso
(já tratado). Concluímos que se
então necessariamente
e daí
implica
.
Portanto o lema está provado:
Passo 4
Prova da implicação recíproca (
): se
ou
então
.
- Se
, então pela definição de multiplicação
- Se
, mostramos por indução em .
Base (
):
por definição.
Passo indutivo: suponha
. Então
Assim, por indução,
para todo
.
Portanto, se
ou
então
. A direção (
) está provada.
Passo 5
Prova da implicação direta (
): se
então
ou
.
Faremos indução em
(para cada fixo
).
Base (
): temos
por definição, logo a conclusão é verdadeira (neste caso
).
Passo indutivo: suponha a afirmação verdadeira para um dado
: para todo
, se
então
ou
. Vamos mostrar que vale para
. Tome um
qualquer e suponha
Pela definição de multiplicação,
Portanto
Aplicando o lema do Passo 3 (soma igual a zero implica ambos termos zero), obtemos
Em particular
, então a conclusão "
ou
" é satisfeita (note que
nunca é
, então o único caso possível é
). Assim, para
também vale: se
então
ou
(na prática obtivemos
).
Com isso, por indução em
, para todo natural
e todo natural
temos: se
então
ou
.
Passo 6
Juntando os dois sentidos:
- Já vimos que
ou implica . - E que
implica ou .
Portanto a equivalência está provada.
Força aí — essa propriedade é ótima porque mostra que em
não existem divisores de zero: produto zero só acontece se um dos fatores for zero.