Questão 9. Prove as seguintes propriedades fundamentais da multiplicação para quaisquer naturais a, b e c :
Mostre que se a e b são ambos positivos, então a \cdot b também é positivo.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Temos dois números naturais a e b tais que a>0 e b>0.
  • Precisamos provar que o produto a\cdot b também é positivo.
Definição que usarei (padrão em aritmética de naturais): um natural n é dito positivo quando existe algum natural k tal que n = k + 1. Ou seja, n é um sucessor de outro natural. Vou escrever isso usando a forma: a>0 \iff \exists m\in\mathbb{N} tal que a = m+1, e similar para b.

Passo 2

Plano de prova e ferramenta básica.
  • Vou usar a definição recursiva usual da multiplicação por naturais:
a\cdot 0 = 0,\qquad a\cdot (n+1) = a\cdot n + a.
  • Prova por indução em b: fixo a>0 e mostro que para todo b>0 vale a\cdot b>0. Para fazer isso preciso também de um lema simples sobre soma: a soma de dois naturais positivos é positiva. Vou provar esse lema primeiro (é curto) e depois faço a indução.

Passo 3

Lema (soma de positivos é positiva) e sua prova.
Afirmação: se x>0 e y>0 então x+y>0.
Prova do lema: como x>0 existe m\in\mathbb{N} com x=m+1. Como y>0 existe n\in\mathbb{N} com y=n+1. Então
x+y = (m+1)+(n+1) = (m+n)+2.
Escrevendo m+n+2 = (m+n+1)+1, obtemos que x+y é da forma t+1 com t=m+n+1\in\mathbb{N}. Portanto x+y>0. Isso prova o lema. (Intuição: somando dois sucessores obtém-se outro sucessor.)

Passo 4

Base da indução em b.
Queremos provar que, para fixo a>0, a propriedade P(b) : “ a\cdot b>0” vale para todo b>0. Começamos com b=1 (lembrando que b>0 significa b\ge1). Usando a definição recursiva:
a\cdot 1 = a\cdot(0+1) = a\cdot 0 + a = 0 + a = a.
Como por hipótese a>0, segue que a\cdot 1 = a > 0. Assim P(1) é verdadeira.

Passo 5

Passo indutivo.
Suponha que para algum b\ge1 vale P(b), isto é, suponha que a\cdot b>0. Consideremos b+1. Pela definição da multiplicação,
a\cdot (b+1) = a\cdot b + a.
Pelo passo indutivo a\cdot b>0 e pela hipótese inicial a>0. Pelo lema do Passo 3 (soma de positivos é positiva), a soma (a\cdot b)+a é positiva. Portanto a\cdot(b+1)>0. Isso completa o passo indutivo.

Passo 6

Conclusão por indução e observação final.
Pelo princípio da indução matemática sobre b temos que, para todo b\ge1 (ou seja, para todo b>0), a\cdot b>0. A escolha de qual dos dois fatores induzir foi arbitrária: fixando b>0 e induzindo em a dá-se o mesmo argumento simétrico. Portanto, para quaisquer naturais a e b, se a>0 e b>0 então a\cdot b>0. (Intuitivamente: produto de sucessores é soma de sucessores, logo sucessor.)

Resposta

a\cdot b é positivo.

Exercícios relacionados