Questão 11. Prove que a relação de igualdade entre conjuntos é uma relação de equivalência, ou seja, é reflexiva ( A=A ), simétrica (se A=B, então B=A ) e transitiva (se A=B e B=C, então A=C ).

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que a relação “igualdade entre conjuntos” é uma relação de equivalência, isto é, mostrar três propriedades:
  • Reflexiva: que A=A para todo conjunto A.
  • Simétrica: se A=B então B=A.
  • Transitiva: se A=B e B=C então A=C.
Informações/definições que vamos usar (dados do enunciado ou definições padrão):
  • Igualdade de conjuntos: por definição, dois conjuntos X e Y são iguais, X=Y, exatamente quando têm os mesmos elementos; formalmente,
X=Y \iff \forall x\,(x\in X \iff x\in Y).
  • Inclusão de conjuntos: X\subseteq Y significa
X\subseteq Y \iff \forall x\,(x\in X \Rightarrow x\in Y).
  • Um método comum para provar igualdade de conjuntos é mostrar inclusão mútua: provar X\subseteq Y e Y\subseteq X implica X=Y.

Passo 2

Provaremos cada propriedade com argumentos elementares do tipo “pega um elemento arbitrário” — esse é o jeito padrão e rigoroso de trabalhar com conjuntos sem assumir nada além das definições acima.
Antes de começar: explicar o que significa “pegar um elemento arbitrário”. Significa escolher um elemento x qualquer que satisfaça a hipótese (por exemplo, x\in A), e então deduzir algo sobre x apenas usando regras lógicas e as hipóteses. Se a dedução funciona para esse x arbitrário, então vale para todo x, o que permite concluir uma afirmação com quantificador universal \forall x.

Passo 3

Queremos mostrar que para todo conjunto A vale A=A.
Argumento:
  • Tomemos um conjunto arbitrário A.
  • Para provar A=A podemos mostrar A\subseteq A (uma inclusão basta porque a inclusão mútua é trivial aqui).
  • Pegue um elemento arbitrário x e suponha x\in A.
  • A partir de x\in A concluímos imediatamente x\in A (é a mesma afirmação; nenhum passo adicional é necessário).
  • Assim, \forall x\,(x\in A \Rightarrow x\in A), logo A\subseteq A.
  • Portanto A=A.
Comentário pedagógico: este passo é óbvio, mas é importante entender a estrutura: assumir x\in A e mostrar x\in A é um exemplo do uso do argumento por elemento arbitrário para provar uma inclusão.

Passo 4

Queremos mostrar: se A=B então B=A.
Argumento:
  • Suponha A=B. Pela definição de igualdade temos
\forall x\,(x\in A \iff x\in B).
  • A equivalência lógica p\iff q é simétrica: se p\iff q então também q\iff p. Aplicando isso ao predicado x\in A e x\in B obtemos
\forall x\,(x\in B \iff x\in A).
  • Pela definição de igualdade, isso significa B=A.
Outro modo (via inclusões):
  • De A=B obtemos A\subseteq B e B\subseteq A.
  • Trocar as duas inclusões dá B\subseteq A e A\subseteq B, portanto B=A.
Comentário pedagógico: a simetria vem direto da definição: “ter os mesmos elementos” não depende da ordem; se todo elemento de A está em B e vice-versa, a igualdade vale em ambos os sentidos.

Passo 5

Queremos mostrar: se A=B e B=C então A=C.
Argumento (via inclusões):
  • Suponha A=B e B=C. Pela definição de igualdade temos
A\subseteq B,\qquad B\subseteq A,\qquad B\subseteq C,\qquad C\subseteq B.
  • Para provar A=C basta provar A\subseteq C e C\subseteq A.
  • Provar A\subseteq C:
    • Tome x arbitrário e suponha x\in A.
    • Como A\subseteq B, de x\in A segue x\in B.
    • Como B\subseteq C, de x\in B segue x\in C.
    • Assim x\in C. Como x era arbitrário, \forall x\,(x\in A \Rightarrow x\in C), logo A\subseteq C.
  • Provar C\subseteq A (análogo):
    • Tome x arbitrário e suponha x\in C.
    • Como C\subseteq B, segue x\in B.
    • Como B\subseteq A, segue x\in A.
    • Logo \forall x\,(x\in C \Rightarrow x\in A), isto é, C\subseteq A.
  • Com A\subseteq C e C\subseteq A obtemos A=C.
Comentário pedagógico: a transitividade usa a cadeia de inclusões; é exatamente o mesmo raciocínio que se usa para números com \leq: se a\le b e b\le c então a\le c.

Passo 6

Juntando os resultados:
  • Já provamos que para todo conjunto A vale A=A (reflexividade).
  • Já provamos que A=B implica B=A (simetria).
  • Já provamos que A=B e B=C implicam A=C (transitividade).
Portanto a relação “igualdade entre conjuntos” satisfaz as três propriedades necessárias e é, por definição, uma relação de equivalência.

Resposta

A relação de igualdade entre conjuntos é reflexiva, simétrica e transitiva; logo é uma relação de equivalência.

Exercícios relacionados