Questão 11. Prove que a relação de igualdade entre conjuntos é uma relação de equivalência, ou seja, é reflexiva (
), simétrica (se
, então
) e transitiva (se
e
, então
).
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que a relação “igualdade entre conjuntos” é uma relação de equivalência, isto é, mostrar três propriedades:
- Reflexiva: que
para todo conjunto . - Simétrica: se
então . - Transitiva: se
e então .
Informações/definições que vamos usar (dados do enunciado ou definições padrão):
- Igualdade de conjuntos: por definição, dois conjuntos
e são iguais, , exatamente quando têm os mesmos elementos; formalmente,
- Inclusão de conjuntos:
significa
- Um método comum para provar igualdade de conjuntos é mostrar inclusão mútua: provar
e implica .
Passo 2
Provaremos cada propriedade com argumentos elementares do tipo “pega um elemento arbitrário” — esse é o jeito padrão e rigoroso de trabalhar com conjuntos sem assumir nada além das definições acima.
Antes de começar: explicar o que significa “pegar um elemento arbitrário”. Significa escolher um elemento
qualquer que satisfaça a hipótese (por exemplo,
), e então deduzir algo sobre
apenas usando regras lógicas e as hipóteses. Se a dedução funciona para esse
arbitrário, então vale para todo
, o que permite concluir uma afirmação com quantificador universal
.
Passo 3
Queremos mostrar que para todo conjunto
vale
.
Argumento:
- Tomemos um conjunto arbitrário
. - Para provar
podemos mostrar (uma inclusão basta porque a inclusão mútua é trivial aqui). - Pegue um elemento arbitrário
e suponha . - A partir de
concluímos imediatamente (é a mesma afirmação; nenhum passo adicional é necessário). - Assim,
, logo . - Portanto
.
Comentário pedagógico: este passo é óbvio, mas é importante entender a estrutura: assumir
e mostrar
é um exemplo do uso do argumento por elemento arbitrário para provar uma inclusão.
Passo 4
Queremos mostrar: se
então
.
Argumento:
- Suponha
. Pela definição de igualdade temos
- A equivalência lógica
é simétrica: se então também . Aplicando isso ao predicado e obtemos
- Pela definição de igualdade, isso significa
.
Outro modo (via inclusões):
- De
obtemos e . - Trocar as duas inclusões dá
e , portanto .
Comentário pedagógico: a simetria vem direto da definição: “ter os mesmos elementos” não depende da ordem; se todo elemento de
está em
e vice-versa, a igualdade vale em ambos os sentidos.
Passo 5
Queremos mostrar: se
e
então
.
Argumento (via inclusões):
- Suponha
e . Pela definição de igualdade temos
- Para provar
basta provar e . - Provar
: - Tome
arbitrário e suponha . - Como
, de segue . - Como
, de segue . - Assim
. Como era arbitrário, , logo .
- Tome
- Provar
(análogo): - Tome
arbitrário e suponha . - Como
, segue . - Como
, segue . - Logo
, isto é, .
- Tome
- Com
e obtemos .
Comentário pedagógico: a transitividade usa a cadeia de inclusões; é exatamente o mesmo raciocínio que se usa para números com
: se
e
então
.
Passo 6
Juntando os resultados:
- Já provamos que para todo conjunto
vale (reflexividade). - Já provamos que
implica (simetria). - Já provamos que
e implicam (transitividade).
Portanto a relação “igualdade entre conjuntos” satisfaz as três propriedades necessárias e é, por definição, uma relação de equivalência.
Resposta
A relação de igualdade entre conjuntos é reflexiva, simétrica e transitiva; logo é uma relação de equivalência.