Questão 1: Prove que o sistema linear
x+2 y+3 z-3 t & =a 2 x-5 y-3 z-12 t & =b 7 x+y+8 z+5 t & =c
admite solução se, e só se, 37 a+13 b=9 c. Ache a solução geral do sistema quando a=2 e b=4.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema em quatro incógnitas
queremos (i) encontrar a condição entre e .
O conteúdo usado é determinação de compatibilidade de sistema linear sub-determinado via posto da matriz e condição de ortogonalidade ao núcleo de .

Passo 2

Extraímos as três primeiras colunas como a matriz
e o termo independente depende de :
Como , o sistema em com parâmetro só é compatível se
Calculamos : resolvendo
obtemos (por eliminação) um gerador
.
A condição de compatibilidade é
Como
fica
Para que o sistema ad­mite alguma solução para algum , basta que possamos escolher de acordo com essa fórmula. Mas se quisermos que exista solução sem forçar a valer um único número, precisamos que o coeficiente de desapareça, i.e.

Passo 3

Sob
Substituindo no sistema original sobra
mas agora com . Por exemplo, da primeira
,
substituindo nas demais, chega-se a
única relação não trivial, de modo que
onde é parâmetro livre.
Para o caso e , a condição
Então a solução geral é

Resposta

O sistema admite solução se, e só se,
37a + 13b = 9c
Sob essa condição, a solução geral é
x = a - s, y = -s, z = s, t = 0, sinR
Para a=2, b=4 obtemos c=14 e
x = 2 - s,; y = -s,; z = s,; t = 0, sinR

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