Questão 2: Dizemos que uma matriz quadrada T é matriz ortogonal quando T T^t=I.
a) Verifique que
A=[rr cos theta & sen theta -sen theta & cos theta ]
é uma matriz ortogonal.
b) Se T é uma matriz ortogonal, deduza que det(T)= pm 1.
c) Sejam A=[rrraiz3 / 2 & 1 / 2 -1 / 2 & raiz3 / 2] e B=[rraiz3 / 2 1 / 2]. Resolva o sistema A X=B.

Passo 1

O enunciado define matriz ortogonal como aquela que satisfaz T,T^t=I. Pede-se em (a) verificar que
A = costheta & sentheta -sentheta & costheta
é ortogonal, em (b) mostrar que det T=pm1 para qualquer matriz ortogonal T, e em (c) resolver o sistema
A,X = B, B = raiz3/21/2,
onde
A = raiz3/2 & 1/2 -1/2 & raiz3/2
Vamos usar produto de matrizes, propriedade de determinante e o fato de que a inversa de matriz ortogonal é sua transposta.

Passo 2

(a) Calcular A,A^t. Primeiro escrevemos
A = costheta & sentheta -sentheta & costheta , A^t = costheta & -sentheta sentheta & costheta
Multiplicando:
A,A^t = costhetacdotcostheta+senthetacdotsentheta & costhetacdot(-sentheta)+senthetacdotcostheta[6pt] (-sentheta)cdotcostheta+costhetacdotsentheta & (-sentheta)cdot(-sentheta)+costhetacdotcostheta = cos^2theta+sen^2theta & 0 0 & sen^2theta+cos^2theta =1&00&1
Logo A,A^t=I, ou seja, A é ortogonal.]

Passo 3

(b) Se T é ortogonal então
T,T^t=I
implica
det(T),det(T^t)=det(I)=1
Como det(T^t)=det(T), segue det(T)^2=1 e portanto
det(T)=pm1

Passo 4

(c) Para resolver A,X=B usamos o fato de que, sendo A ortogonal, A^-1=A^t. Assim
X = A^-1B = A^tB
No caso numérico
A^t=raiz3/2 & -1/21/2 & raiz3/2, B=raiz3/21/2
Portanto
X = raiz32!cdot!raiz32 + l(-tfrac12r)!cdot!tfrac12[6pt] tfrac12!cdot!raiz32 + raiz32!cdot!tfrac12 = 34-14[3pt] raiz34+raiz34 = tfrac12[3pt] tfracraiz32 ]

Resposta

(a) A,A^t=I, logo A é ortogonal.
(b) det(T)=pm1 para qualquer matriz ortogonal T.
(c) X=1/2raiz3/2.

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