Questão 7 Prove que, para todo inteiro n \geq 4, temos:
n!>n^{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n\ge4, vale a desigualdade
n! > n^2.
O conteúdo principal aqui é o princípio da indução finita e a manipulação de desigualdades.

Passo 2

Base da indução: verificamos a desigualdade em n=4. Calculamos
4! = 24 \quad\text{e}\quad 4^2 = 16,
logo 24 > 16. Portanto a propriedade é verdadeira para n=4.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que, para algum inteiro k\ge4, já se tenha
k! > k^2.
Esse é o nosso passo de hipótese de indução.

Passo 4

Queremos provar que a desigualdade também vale para n = k+1. Partimos de
(k+1)! = (k+1)\cdot k!.
Pela hipótese indutiva k!>k^2, segue
(k+1)! > (k+1)\,k^2.
Agora, como k\ge4, temos
k^2 > k+1,
então
(k+1)\,k^2 > (k+1)(k+1) = (k+1)^2.
Juntando as desigualdades,
(k+1)! > (k+1)^2,
como queríamos demonstrar.

Resposta

A desigualdade n!>n^2 vale para todo inteiro n\ge4, por indução finita.

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