Questão 7 Prove que, para todo inteiro
, temos:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
, vale a desigualdade
O conteúdo principal aqui é o princípio da indução finita e a manipulação de desigualdades.
Passo 2
Base da indução: verificamos a desigualdade em
. Calculamos
logo
. Portanto a propriedade é verdadeira para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que, para algum inteiro
, já se tenha
Esse é o nosso passo de hipótese de indução.
Passo 4
Queremos provar que a desigualdade também vale para
. Partimos de
Pela hipótese indutiva
, segue
Agora, como
, temos
então
Juntando as desigualdades,
como queríamos demonstrar.
Resposta
A desigualdade
vale para todo inteiro
, por indução finita.