( 0,8 ponto) Deseja transportar através de um transportador pneumático direto, 10,4 \mathrm{t} / \mathrm{h} de um sólido com diâmetro médio de 5,5 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m} e densidade de 2,7 \mathrm{~g} / \mathrm{ml} através de um sistema composto por 30 m de dutos cilíndricos horizontais e 10 m de dutos cilíndricos verticais. Considerando que no final deste transportador exista um ciclone com perda de carga de 4480,658 \mathrm{~Pa}, calcule o que se pede:
a) Calcular o diâmetro do transportador pneumático;
b) Calcular a potência elétrica consumida pelo motor do ventilador, sabendo que a eficiência do ventilador é de 85 \% e a eficiência do motor elétrico é de 89 \%.

Passo 1

O problema trata do dimensionamento de um transportador pneumático em fase diluída para escoar uma carga de sólidos de 10{,}4,t/h (fluxo mássico \dot m_s) através de 30 m de duto horizontal e 10 m vertical, finalmente passando por um ciclone com perda de carga \Delta P_{\rm ciclo}=4480{,}658,Pa. Vamos precisar de:
  • cálculo da vazão volumétrica de sólidos \dot Q_s,
  • escolha de uma razão de transporte (razão de cargas mássicas) típica em fase diluída,
  • escolha de uma velocidade de escoamento de projeto U,
  • determinação do diâmetro do duto a partir de \dot Q_g = A\,U, onde \dot Q_g é a vazão volumétrica de ar,
  • cálculo da perda de carga por atrito \Delta P_f (usando fator de atrito de Blasius) e soma com \Delta P_{\rm ciclo},
  • potência útil do ar P_{\rm ar} = (\Delta P_f+\Delta P_{\rm ciclo})\,\dot Q_g e potência elétrica considerando eficiências \eta_{\rm vent}=85\% e \eta_{\rm mot}=89\%.

Passo 2

Calcular a vazão volumétrica de sólidos
\dot m_s = 10{,}4\\ \mathrm{t/h}= \frac{10{,}4\times 10^3}{3600}\\ \mathrm{kg/s}=2{,}8889\\ \mathrm{kg/s}.
Como a densidade do sólido é \rho_s=2{,}7\\ \mathrm{g/mL}=2700\\ \mathrm{kg/m^3},
\dot Q_s = \frac{\dot m_s}{\rho_s} = \frac{2{,}8889}{2700} =1{,}070\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Adotar uma razão de transporte (solos-ar) típica em fase diluída
\Lambda = \frac{\dot m_s}{\dot m_g}\approx 4 \quad\Longrightarrow\quad \dot m_g = \frac{\dot m_s}{\Lambda} = \frac{2{,}8889}{4} =0{,}7222\\ \mathrm{kg/s}.
Assumimos ar a 20\,^\circ\mathrm C, portanto \rho_g=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}. Logo a vazão volumétrica de ar é
\dot Q_g = \frac{\dot m_g}{\rho_g} = \frac{0{,}7222}{1{,}2} =0{,}6018\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 4

Escolher uma velocidade de projeto em fase diluída
Usualmente U\approx 15\\ \mathrm{m/s}. Então a área interna do duto será
A = \frac{\dot Q_g}{U} = \frac{0{,}6018}{15} =4{,}012\times10^{-2}\\ \mathrm{m^2}.
Logo o diâmetro interno é
D = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} = \sqrt{\frac{4\,(4{,}012\times10^{-2})}{\pi}} =0{,}226\\ \mathrm{m} \approx 226\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Calcular a perda de carga por atrito no duto
Comprimento total L=30+10=40,m. A velocidade é U=15,m/s, viscosidade do ar \mu=1{,}8\times10^{-5},P a\cdot s.
Reynolds
\mathrm{Re} = \frac{\rho_g\,U\,D}{\mu} = \frac{1{,}2\cdot15\cdot0{,}226}{1{,}8\times10^{-5}} \approx 226{,}000.
Fator de atrito (Blasius)
f = 0{,}316\,\mathrm{Re}^{-0.25} \approx 0{,}316\,(226{,}000)^{-0.25} \approx 0{,}014.
Perda de carga por atrito
\Delta P_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho_g\,U^2}{2} =0{,}014\;\frac{40}{0{,}226}\;\frac{1{,}2\cdot15^2}{2} \approx 293\\ \mathrm{Pa}.
Perda de carga total
\Delta P_{\rm tot} = \Delta P_f + \Delta P_{\rm ciclo} =293 + 4480{,}658 =4773\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Potência útil para mover o ar
P_{\rm ar} = \Delta P_{\rm tot}\,\dot Q_g =4773\cdot0{,}6018 \approx 2874\\ \mathrm{W}.
Potência no ventilador (considerando \eta_{\rm vent}=85\%)
P_{\rm vent} = \frac{P_{\rm ar}}{\eta_{\rm vent}} = \frac{2874}{0{,}85} \approx 3381\\ \mathrm{W}.
Potência elétrica consumida (considerando \eta_{\rm mot}=89\%)
P_{\rm e} = \frac{P_{\rm vent}}{\eta_{\rm mot}} = \frac{3381}{0{,}89} \approx 3799\\ \mathrm{W} \approx 3{,}80\\ \mathrm{kW}.

Resposta

a) D\approx0{,}226\\ \mathrm{m}.
b) P_{\rm el}\approx3{,}80\\ \mathrm{kW}.

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